Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36975 / 28451
↖ ↑ ↗
← N 23.064570°
E 23.109741°		 ← 562.02 m → N 23.064570°
E 23.115235°		 →
↑
561.99 m
↓
↑
561.99 m
↓
N 23.059516°
E 23.109741°		 ← 562.04 m →
315 855 m²		 N 23.059516°
E 23.115235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564201354980469 y=0.434135437011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564201354980469 × 216)
    floor (0.564201354980469 × 65536)
    floor (36975.5)     		tx = 36975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434135437011719 × 216)
    floor (0.434135437011719 × 65536)
    floor (28451.5)     		ty = 28451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36975 / 28451 ti = "16/36975/28451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36975/28451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36975 ÷ 216
    36975 ÷ 65536     		x = 0.564193725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28451 ÷ 216
    28451 ÷ 65536     		y = 0.434127807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564193725585938 × 2 - 1) × π
    0.128387451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40334107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434127807617188 × 2 - 1) × π
    0.131744384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.413887191319565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40334107} λ = 0.40334107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.413887191319565))-π/2
    2×atan(1.51268647309402)-π/2
    2×0.986674510677399-π/2
    1.9733490213548-1.57079632675     		φ = 0.40255269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40334107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.109741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40255269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.064570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36975 KachelY 28451 0.40334107 0.40255269 23.109741 23.064570
    Oben rechts KachelX + 1 36976 KachelY 28451 0.40343695 0.40255269 23.115235 23.064570
    Unten links KachelX 36975 KachelY + 1 28452 0.40334107 0.40246448 23.109741 23.059516
    Unten rechts KachelX + 1 36976 KachelY + 1 28452 0.40343695 0.40246448 23.115235 23.059516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40255269-0.40246448) × R
    8.82099999999775e-05 × 6371000     		dl = 561.985909999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40255269-0.40246448) × R
    8.82099999999775e-05 × 6371000     		dr = 561.985909999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40334107-0.40343695) × cos(0.40255269) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.920063929854971 × 6371000     		do = 562.022413246482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40334107-0.40343695) × cos(0.40246448) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.920098484153116 × 6371000     		du = 562.043520790644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40255269)-sin(0.40246448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920063929854971-0.920098484153116)×R²
    abs(0.40343695-0.40334107)×3.45542981453617e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.45542981453617e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.45542981453617e-05×40589641000000     		ar = 315854.608624732m²