Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36974 / 68821
↖ ↑ ↗
← S  8.985462°
W 78.447876°		 ← 301.68 m → S  8.985462°
W 78.445129°		 →
↑
301.60 m
↓
↑
301.60 m
↓
S  8.988175°
W 78.447876°		 ← 301.68 m →
90 987 m²		 S  8.988175°
W 78.445129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36974 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282093048095703 y=0.525066375732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282093048095703 × 217)
    floor (0.282093048095703 × 131072)
    floor (36974.5)     		tx = 36974
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525066375732422 × 217)
    floor (0.525066375732422 × 131072)
    floor (68821.5)     		ty = 68821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36974 / 68821 ti = "17/36974/68821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36974/68821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36974 ÷ 217
    36974 ÷ 131072     		x = 0.282089233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68821 ÷ 217
    68821 ÷ 131072     		y = 0.525062561035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282089233398438 × 2 - 1) × π
    -0.435821533203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36917373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525062561035156 × 2 - 1) × π
    -0.0501251220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.157472715251884
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36917373} λ = -1.36917373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.157472715251884))-π/2
    2×atan(0.854300122654149)-π/2
    2×0.706985215673661-π/2
    1.41397043134732-1.57079632675     		φ = -0.15682590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36917373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.447876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15682590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.985462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36974 KachelY 68821 -1.36917373 -0.15682590 -78.447876 -8.985462
    Oben rechts KachelX + 1 36975 KachelY 68821 -1.36912579 -0.15682590 -78.445129 -8.985462
    Unten links KachelX 36974 KachelY + 1 68822 -1.36917373 -0.15687324 -78.447876 -8.988175
    Unten rechts KachelX + 1 36975 KachelY + 1 68822 -1.36912579 -0.15687324 -78.445129 -8.988175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15682590--0.15687324) × R
    4.73400000000068e-05 × 6371000     		dl = 301.603140000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15682590--0.15687324) × R
    4.73400000000068e-05 × 6371000     		dr = 301.603140000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36917373--1.36912579) × cos(-0.15682590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987728001336869 × 6371000     		do = 301.677555726836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36917373--1.36912579) × cos(-0.15687324) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987720606486569 × 6371000     		du = 301.675297149211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15682590)-sin(-0.15687324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987728001336869-0.987720606486569)×R²
    abs(-1.36912579--1.36917373)×7.3948502995469e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.3948502995469e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.3948502995469e-06×40589641000000     		ar = 90986.5574947108m²