Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36971 / 30251
↖ ↑ ↗
← N 13.694025°
E 23.087769°		 ← 593.43 m → N 13.694025°
E 23.093262°		 →
↑
593.46 m
↓
↑
593.46 m
↓
N 13.688688°
E 23.087769°		 ← 593.44 m →
352 177 m²		 N 13.688688°
E 23.093262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564140319824219 y=0.461601257324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564140319824219 × 216)
    floor (0.564140319824219 × 65536)
    floor (36971.5)     		tx = 36971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461601257324219 × 216)
    floor (0.461601257324219 × 65536)
    floor (30251.5)     		ty = 30251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36971 / 30251 ti = "16/36971/30251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36971/30251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36971 ÷ 216
    36971 ÷ 65536     		x = 0.564132690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30251 ÷ 216
    30251 ÷ 65536     		y = 0.461593627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564132690429688 × 2 - 1) × π
    0.128265380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40295758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461593627929688 × 2 - 1) × π
    0.076812744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.241314352687363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40295758} λ = 0.40295758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.241314352687363))-π/2
    2×atan(1.27292111859574)-π/2
    2×0.904901074089072-π/2
    1.80980214817814-1.57079632675     		φ = 0.23900582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40295758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.087769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23900582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.694025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36971 KachelY 30251 0.40295758 0.23900582 23.087769 13.694025
    Oben rechts KachelX + 1 36972 KachelY 30251 0.40305345 0.23900582 23.093262 13.694025
    Unten links KachelX 36971 KachelY + 1 30252 0.40295758 0.23891267 23.087769 13.688688
    Unten rechts KachelX + 1 36972 KachelY + 1 30252 0.40305345 0.23891267 23.093262 13.688688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23900582-0.23891267) × R
    9.31500000000141e-05 × 6371000     		dl = 593.45865000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23900582-0.23891267) × R
    9.31500000000141e-05 × 6371000     		dr = 593.45865000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40295758-0.40305345) × cos(0.23900582) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.97157381397803 × 6371000     		do = 593.425403230023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40295758-0.40305345) × cos(0.23891267) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.971595861798049 × 6371000     		du = 593.438869768845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23900582)-sin(0.23891267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97157381397803-0.971595861798049)×R²
    abs(0.40305345-0.40295758)×2.20478200188001e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.20478200188001e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.20478200188001e-05×40589641000000     		ar = 352177.43484836m²