Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36971 / 102750
↖ ↑ ↗
← S 70.929209°
W 78.456116°		 ← 99.79 m → S 70.929209°
W 78.453369°		 →
↑
99.77 m
↓
↑
99.77 m
↓
S 70.930106°
W 78.456116°		 ← 99.79 m →
9 956 m²		 S 70.930106°
W 78.453369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282070159912109 y=0.783924102783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282070159912109 × 217)
    floor (0.282070159912109 × 131072)
    floor (36971.5)     		tx = 36971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783924102783203 × 217)
    floor (0.783924102783203 × 131072)
    floor (102750.5)     		ty = 102750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36971 / 102750 ti = "17/36971/102750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36971/102750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36971 ÷ 217
    36971 ÷ 131072     		x = 0.282066345214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102750 ÷ 217
    102750 ÷ 131072     		y = 0.783920288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282066345214844 × 2 - 1) × π
    -0.435867309570312 × 3.1415926535     		Λ = -1.36931754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783920288085938 × 2 - 1) × π
    -0.567840576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.78392378246077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36931754} λ = -1.36931754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78392378246077))-π/2
    2×atan(0.167977744350121)-π/2
    2×0.166424048721342-π/2
    0.332848097442684-1.57079632675     		φ = -1.23794823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36931754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.456116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23794823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.929209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36971 KachelY 102750 -1.36931754 -1.23794823 -78.456116 -70.929209
    Oben rechts KachelX + 1 36972 KachelY 102750 -1.36926960 -1.23794823 -78.453369 -70.929209
    Unten links KachelX 36971 KachelY + 1 102751 -1.36931754 -1.23796389 -78.456116 -70.930106
    Unten rechts KachelX + 1 36972 KachelY + 1 102751 -1.36926960 -1.23796389 -78.453369 -70.930106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23794823--1.23796389) × R
    1.56600000000839e-05 × 6371000     		dl = 99.7698600005348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23794823--1.23796389) × R
    1.56600000000839e-05 × 6371000     		dr = 99.7698600005348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36931754--1.36926960) × cos(-1.23794823) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.326736130656814 × 6371000     		do = 99.7936244905286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36931754--1.36926960) × cos(-1.23796389) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.326721330106425 × 6371000     		du = 99.7891040214737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23794823)-sin(-1.23796389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326736130656814-0.326721330106425)×R²
    abs(-1.36926960--1.36931754)×1.48005503886051e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48005503886051e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48005503886051e-05×40589641000000     		ar = 9956.17044132791m²