Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36970 / 30229
↖ ↑ ↗
← N 13.811409°
E 23.082275°		 ← 593.19 m → N 13.811409°
E 23.087769°		 →
↑
593.14 m
↓
↑
593.14 m
↓
N 13.806075°
E 23.082275°		 ← 593.20 m →
351 849 m²		 N 13.806075°
E 23.087769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564125061035156 y=0.461265563964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564125061035156 × 216)
    floor (0.564125061035156 × 65536)
    floor (36970.5)     		tx = 36970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461265563964844 × 216)
    floor (0.461265563964844 × 65536)
    floor (30229.5)     		ty = 30229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36970 / 30229 ti = "16/36970/30229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36970/30229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36970 ÷ 216
    36970 ÷ 65536     		x = 0.564117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30229 ÷ 216
    30229 ÷ 65536     		y = 0.461257934570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564117431640625 × 2 - 1) × π
    0.12823486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40286170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461257934570312 × 2 - 1) × π
    0.077484130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.243423576270645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40286170} λ = 0.40286170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.243423576270645))-π/2
    2×atan(1.27560882733163)-π/2
    2×0.905925450799756-π/2
    1.81185090159951-1.57079632675     		φ = 0.24105457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40286170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.082275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24105457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.811409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36970 KachelY 30229 0.40286170 0.24105457 23.082275 13.811409
    Oben rechts KachelX + 1 36971 KachelY 30229 0.40295758 0.24105457 23.087769 13.811409
    Unten links KachelX 36970 KachelY + 1 30230 0.40286170 0.24096147 23.082275 13.806075
    Unten rechts KachelX + 1 36971 KachelY + 1 30230 0.40295758 0.24096147 23.087769 13.806075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24105457-0.24096147) × R
    9.30999999999849e-05 × 6371000     		dl = 593.140099999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24105457-0.24096147) × R
    9.30999999999849e-05 × 6371000     		dr = 593.140099999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40286170-0.40295758) × cos(0.24105457) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.971086760718625 × 6371000     		do = 593.189784993332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40286170-0.40295758) × cos(0.24096147) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.971108981978705 × 6371000     		du = 593.20335888294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24105457)-sin(0.24096147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971086760718625-0.971108981978705)×R²
    abs(0.40295758-0.40286170)×2.22212600802241e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.22212600802241e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.22212600802241e-05×40589641000000     		ar = 351848.674253148m²