Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36969 / 28325
↖ ↑ ↗
← N 23.699865°
E 23.076782°		 ← 559.28 m → N 23.699865°
E 23.082275°		 →
↑
559.31 m
↓
↑
559.31 m
↓
N 23.694835°
E 23.076782°		 ← 559.30 m →
312 815 m²		 N 23.694835°
E 23.082275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564109802246094 y=0.432212829589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564109802246094 × 216)
    floor (0.564109802246094 × 65536)
    floor (36969.5)     		tx = 36969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432212829589844 × 216)
    floor (0.432212829589844 × 65536)
    floor (28325.5)     		ty = 28325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36969 / 28325 ti = "16/36969/28325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36969/28325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36969 ÷ 216
    36969 ÷ 65536     		x = 0.564102172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28325 ÷ 216
    28325 ÷ 65536     		y = 0.432205200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564102172851562 × 2 - 1) × π
    0.128204345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40276583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432205200195312 × 2 - 1) × π
    0.135589599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.425967290023819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40276583} λ = 0.40276583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.425967290023819))-π/2
    2×atan(1.53107069302826)-π/2
    2×0.992218499118087-π/2
    1.98443699823617-1.57079632675     		φ = 0.41364067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40276583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.076782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41364067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.699865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36969 KachelY 28325 0.40276583 0.41364067 23.076782 23.699865
    Oben rechts KachelX + 1 36970 KachelY 28325 0.40286170 0.41364067 23.082275 23.699865
    Unten links KachelX 36969 KachelY + 1 28326 0.40276583 0.41355288 23.076782 23.694835
    Unten rechts KachelX + 1 36970 KachelY + 1 28326 0.40286170 0.41355288 23.082275 23.694835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41364067-0.41355288) × R
    8.77899999999765e-05 × 6371000     		dl = 559.31008999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41364067-0.41355288) × R
    8.77899999999765e-05 × 6371000     		dr = 559.31008999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40276583-0.40286170) × cos(0.41364067) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915663543028124 × 6371000     		do = 559.276093516434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40276583-0.40286170) × cos(0.41355288) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915698826304913 × 6371000     		du = 559.297644110383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41364067)-sin(0.41355288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915663543028124-0.915698826304913)×R²
    abs(0.40286170-0.40276583)×3.52832767893663e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.52832767893663e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.52832767893663e-05×40589641000000     		ar = 312814.789132566m²