Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36967 / 38565
↖ ↑ ↗
← S 30.320729°
E 23.065796°		 ← 527.29 m → S 30.320729°
E 23.071289°		 →
↑
527.26 m
↓
↑
527.26 m
↓
S 30.325471°
E 23.065796°		 ← 527.27 m →
278 017 m²		 S 30.325471°
E 23.071289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564079284667969 y=0.588462829589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564079284667969 × 216)
    floor (0.564079284667969 × 65536)
    floor (36967.5)     		tx = 36967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588462829589844 × 216)
    floor (0.588462829589844 × 65536)
    floor (38565.5)     		ty = 38565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36967 / 38565 ti = "16/36967/38565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36967/38565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36967 ÷ 216
    36967 ÷ 65536     		x = 0.564071655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38565 ÷ 216
    38565 ÷ 65536     		y = 0.588455200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564071655273438 × 2 - 1) × π
    0.128143310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40257408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588455200195312 × 2 - 1) × π
    -0.176910400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.555780414194931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40257408} λ = 0.40257408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.555780414194931))-π/2
    2×atan(0.573624421827712)-π/2
    2×0.520799881808599-π/2
    1.0415997636172-1.57079632675     		φ = -0.52919656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40257408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.065796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52919656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.320729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36967 KachelY 38565 0.40257408 -0.52919656 23.065796 -30.320729
    Oben rechts KachelX + 1 36968 KachelY 38565 0.40266996 -0.52919656 23.071289 -30.320729
    Unten links KachelX 36967 KachelY + 1 38566 0.40257408 -0.52927932 23.065796 -30.325471
    Unten rechts KachelX + 1 36968 KachelY + 1 38566 0.40266996 -0.52927932 23.071289 -30.325471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52919656--0.52927932) × R
    8.27599999999595e-05 × 6371000     		dl = 527.263959999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52919656--0.52927932) × R
    8.27599999999595e-05 × 6371000     		dr = 527.263959999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40257408-0.40266996) × cos(-0.52919656) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.863212957700923 × 6371000     		do = 527.294912766746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40257408-0.40266996) × cos(-0.52927932) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.86317117418935 × 6371000     		du = 527.269389246862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52919656)-sin(-0.52927932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863212957700923-0.86317117418935)×R²
    abs(0.40266996-0.40257408)×4.17835115729126e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.17835115729126e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.17835115729126e-05×40589641000000     		ar = 278016.875135887m²