Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36967 / 30642
↖ ↑ ↗
← N 11.598432°
E 23.065796°		 ← 598.38 m → N 11.598432°
E 23.071289°		 →
↑
598.36 m
↓
↑
598.36 m
↓
N 11.593050°
E 23.065796°		 ← 598.39 m →
358 052 m²		 N 11.593050°
E 23.071289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564079284667969 y=0.467567443847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564079284667969 × 216)
    floor (0.564079284667969 × 65536)
    floor (36967.5)     		tx = 36967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467567443847656 × 216)
    floor (0.467567443847656 × 65536)
    floor (30642.5)     		ty = 30642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36967 / 30642 ti = "16/36967/30642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36967/30642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36967 ÷ 216
    36967 ÷ 65536     		x = 0.564071655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30642 ÷ 216
    30642 ÷ 65536     		y = 0.467559814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564071655273438 × 2 - 1) × π
    0.128143310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40257408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467559814453125 × 2 - 1) × π
    0.06488037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.203827697184479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40257408} λ = 0.40257408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.203827697184479))-π/2
    2×atan(1.22608687703399)-π/2
    2×0.88661357331159-π/2
    1.77322714662318-1.57079632675     		φ = 0.20243082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40257408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.065796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20243082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.598432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36967 KachelY 30642 0.40257408 0.20243082 23.065796 11.598432
    Oben rechts KachelX + 1 36968 KachelY 30642 0.40266996 0.20243082 23.071289 11.598432
    Unten links KachelX 36967 KachelY + 1 30643 0.40257408 0.20233690 23.065796 11.593050
    Unten rechts KachelX + 1 36968 KachelY + 1 30643 0.40266996 0.20233690 23.071289 11.593050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20243082-0.20233690) × R
    9.39200000000251e-05 × 6371000     		dl = 598.36432000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20243082-0.20233690) × R
    9.39200000000251e-05 × 6371000     		dr = 598.36432000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40257408-0.40266996) × cos(0.20243082) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979580753384802 × 6371000     		do = 598.378352984575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40257408-0.40266996) × cos(0.20233690) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979599631784313 × 6371000     		du = 598.389884882856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20243082)-sin(0.20233690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979580753384802-0.979599631784313)×R²
    abs(0.40266996-0.40257408)×1.88783995107578e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.88783995107578e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.88783995107578e-05×40589641000000     		ar = 358051.706687867m²