Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36964 / 68812
↖ ↑ ↗
← S  8.961045°
W 78.475342°		 ← 301.70 m → S  8.961045°
W 78.472595°		 →
↑
301.73 m
↓
↑
301.73 m
↓
S  8.963759°
W 78.475342°		 ← 301.70 m →
91 031 m²		 S  8.963759°
W 78.472595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282016754150391 y=0.524997711181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282016754150391 × 217)
    floor (0.282016754150391 × 131072)
    floor (36964.5)     		tx = 36964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524997711181641 × 217)
    floor (0.524997711181641 × 131072)
    floor (68812.5)     		ty = 68812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36964 / 68812 ti = "17/36964/68812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36964/68812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36964 ÷ 217
    36964 ÷ 131072     		x = 0.282012939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68812 ÷ 217
    68812 ÷ 131072     		y = 0.524993896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282012939453125 × 2 - 1) × π
    -0.43597412109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.36965310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524993896484375 × 2 - 1) × π
    -0.04998779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.157041283155304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36965310} λ = -1.36965310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.157041283155304))-π/2
    2×atan(0.854668774665612)-π/2
    2×0.707198291627338-π/2
    1.41439658325468-1.57079632675     		φ = -0.15639974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36965310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.475342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15639974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.961045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36964 KachelY 68812 -1.36965310 -0.15639974 -78.475342 -8.961045
    Oben rechts KachelX + 1 36965 KachelY 68812 -1.36960516 -0.15639974 -78.472595 -8.961045
    Unten links KachelX 36964 KachelY + 1 68813 -1.36965310 -0.15644710 -78.475342 -8.963759
    Unten rechts KachelX + 1 36965 KachelY + 1 68813 -1.36960516 -0.15644710 -78.472595 -8.963759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15639974--0.15644710) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dl = 301.730559999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15639974--0.15644710) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dr = 301.730559999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36965310--1.36960516) × cos(-0.15639974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987794470953083 × 6371000     		do = 301.697857258556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36965310--1.36960516) × cos(-0.15644710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.98778709291402 × 6371000     		du = 301.695603815515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15639974)-sin(-0.15644710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987794470953083-0.98778709291402)×R²
    abs(-1.36960516--1.36965310)×7.37803906281087e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.37803906281087e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.37803906281087e-06×40589641000000     		ar = 91031.1234721468m²