Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36964 / 68780
↖ ↑ ↗
← S  8.874217°
W 78.475342°		 ← 301.77 m → S  8.874217°
W 78.472595°		 →
↑
301.73 m
↓
↑
301.73 m
↓
S  8.876931°
W 78.475342°		 ← 301.77 m →
91 053 m²		 S  8.876931°
W 78.472595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282016754150391 y=0.524753570556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282016754150391 × 217)
    floor (0.282016754150391 × 131072)
    floor (36964.5)     		tx = 36964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524753570556641 × 217)
    floor (0.524753570556641 × 131072)
    floor (68780.5)     		ty = 68780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36964 / 68780 ti = "17/36964/68780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36964/68780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36964 ÷ 217
    36964 ÷ 131072     		x = 0.282012939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68780 ÷ 217
    68780 ÷ 131072     		y = 0.524749755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282012939453125 × 2 - 1) × π
    -0.43597412109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.36965310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.04949951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.155507302367462
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36965310} λ = -1.36965310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155507302367462))-π/2
    2×atan(0.855980826219573)-π/2
    2×0.70795601072741-π/2
    1.41591202145482-1.57079632675     		φ = -0.15488431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36965310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.475342°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15488431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.874217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36964 KachelY 68780 -1.36965310 -0.15488431 -78.475342 -8.874217
    Oben rechts KachelX + 1 36965 KachelY 68780 -1.36960516 -0.15488431 -78.472595 -8.874217
    Unten links KachelX 36964 KachelY + 1 68781 -1.36965310 -0.15493167 -78.475342 -8.876931
    Unten rechts KachelX + 1 36965 KachelY + 1 68781 -1.36960516 -0.15493167 -78.472595 -8.876931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15488431--0.15493167) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dl = 301.730559999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15488431--0.15493167) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dr = 301.730559999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36965310--1.36960516) × cos(-0.15488431) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.988029384396027 × 6371000     		do = 301.769605870703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36965310--1.36960516) × cos(-0.15493167) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.988022077259909 × 6371000     		du = 301.767374083247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15488431)-sin(-0.15493167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988029384396027-0.988022077259909)×R²
    abs(-1.36960516--1.36965310)×7.30713611807321e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.30713611807321e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.30713611807321e-06×40589641000000     		ar = 91052.7754881111m²