Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36964 / 30677
↖ ↑ ↗
← N 11.410033°
E 23.049316°		 ← 598.78 m → N 11.410033°
E 23.054810°		 →
↑
598.75 m
↓
↑
598.75 m
↓
N 11.404649°
E 23.049316°		 ← 598.79 m →
358 520 m²		 N 11.404649°
E 23.054810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564033508300781 y=0.468101501464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564033508300781 × 216)
    floor (0.564033508300781 × 65536)
    floor (36964.5)     		tx = 36964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468101501464844 × 216)
    floor (0.468101501464844 × 65536)
    floor (30677.5)     		ty = 30677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36964 / 30677 ti = "16/36964/30677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36964/30677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36964 ÷ 216
    36964 ÷ 65536     		x = 0.56402587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30677 ÷ 216
    30677 ÷ 65536     		y = 0.468093872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56402587890625 × 2 - 1) × π
    0.1280517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40228646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468093872070312 × 2 - 1) × π
    0.063812255859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.200472114211075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40228646} λ = 0.40228646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.200472114211075))-π/2
    2×atan(1.22197953590151)-π/2
    2×0.884969489501116-π/2
    1.76993897900223-1.57079632675     		φ = 0.19914265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40228646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.049316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19914265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.410033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36964 KachelY 30677 0.40228646 0.19914265 23.049316 11.410033
    Oben rechts KachelX + 1 36965 KachelY 30677 0.40238234 0.19914265 23.054810 11.410033
    Unten links KachelX 36964 KachelY + 1 30678 0.40228646 0.19904867 23.049316 11.404649
    Unten rechts KachelX + 1 36965 KachelY + 1 30678 0.40238234 0.19904867 23.054810 11.404649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19914265-0.19904867) × R
    9.39799999999935e-05 × 6371000     		dl = 598.746579999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19914265-0.19904867) × R
    9.39799999999935e-05 × 6371000     		dr = 598.746579999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40228646-0.40238234) × cos(0.19914265) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.980236546772664 × 6371000     		do = 598.778945346125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40228646-0.40238234) × cos(0.19904867) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.980255134413008 × 6371000     		du = 598.790299633739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19914265)-sin(0.19904867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980236546772664-0.980255134413008)×R²
    abs(0.40238234-0.40228646)×1.85876403435703e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.85876403435703e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.85876403435703e-05×40589641000000     		ar = 358520.245136379m²