Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36961 / 68831
↖ ↑ ↗
← S  9.012589°
W 78.483582°		 ← 301.65 m → S  9.012589°
W 78.480835°		 →
↑
301.67 m
↓
↑
301.67 m
↓
S  9.015302°
W 78.483582°		 ← 301.65 m →
90 999 m²		 S  9.015302°
W 78.480835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281993865966797 y=0.525142669677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281993865966797 × 217)
    floor (0.281993865966797 × 131072)
    floor (36961.5)     		tx = 36961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525142669677734 × 217)
    floor (0.525142669677734 × 131072)
    floor (68831.5)     		ty = 68831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36961 / 68831 ti = "17/36961/68831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36961/68831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36961 ÷ 217
    36961 ÷ 131072     		x = 0.281990051269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68831 ÷ 217
    68831 ÷ 131072     		y = 0.525138854980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281990051269531 × 2 - 1) × π
    -0.436019897460938 × 3.1415926535     		Λ = -1.36979691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525138854980469 × 2 - 1) × π
    -0.0502777099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.157952084248085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36979691} λ = -1.36979691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.157952084248085))-π/2
    2×atan(0.853890695803008)-π/2
    2×0.706748481454296-π/2
    1.41349696290859-1.57079632675     		φ = -0.15729936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36979691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.483582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15729936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.012589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36961 KachelY 68831 -1.36979691 -0.15729936 -78.483582 -9.012589
    Oben rechts KachelX + 1 36962 KachelY 68831 -1.36974897 -0.15729936 -78.480835 -9.012589
    Unten links KachelX 36961 KachelY + 1 68832 -1.36979691 -0.15734671 -78.483582 -9.015302
    Unten rechts KachelX + 1 36962 KachelY + 1 68832 -1.36974897 -0.15734671 -78.480835 -9.015302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15729936--0.15734671) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dl = 301.66685000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15729936--0.15734671) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dr = 301.66685000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36979691--1.36974897) × cos(-0.15729936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987653943826732 × 6371000     		do = 301.654936657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36979691--1.36974897) × cos(-0.15734671) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987646525271826 × 6371000     		du = 301.652670839378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15729936)-sin(-0.15734671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987653943826732-0.987646525271826)×R²
    abs(-1.36974897--1.36979691)×7.41855490615784e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.41855490615784e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.41855490615784e-06×40589641000000     		ar = 90998.9527842639m²