Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36961 / 28326
↖ ↑ ↗
← N 23.694835°
E 23.032837°		 ← 559.30 m → N 23.694835°
E 23.038330°		 →
↑
559.31 m
↓
↑
559.31 m
↓
N 23.689805°
E 23.032837°		 ← 559.32 m →
312 827 m²		 N 23.689805°
E 23.038330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563987731933594 y=0.432228088378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563987731933594 × 216)
    floor (0.563987731933594 × 65536)
    floor (36961.5)     		tx = 36961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432228088378906 × 216)
    floor (0.432228088378906 × 65536)
    floor (28326.5)     		ty = 28326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36961 / 28326 ti = "16/36961/28326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36961/28326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36961 ÷ 216
    36961 ÷ 65536     		x = 0.563980102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28326 ÷ 216
    28326 ÷ 65536     		y = 0.432220458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563980102539062 × 2 - 1) × π
    0.127960205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40199884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432220458984375 × 2 - 1) × π
    0.13555908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.425871416224579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40199884} λ = 0.40199884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.425871416224579))-π/2
    2×atan(1.53092391050043)-π/2
    2×0.99217460420106-π/2
    1.98434920840212-1.57079632675     		φ = 0.41355288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40199884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.032837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41355288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.694835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36961 KachelY 28326 0.40199884 0.41355288 23.032837 23.694835
    Oben rechts KachelX + 1 36962 KachelY 28326 0.40209471 0.41355288 23.038330 23.694835
    Unten links KachelX 36961 KachelY + 1 28327 0.40199884 0.41346509 23.032837 23.689805
    Unten rechts KachelX + 1 36962 KachelY + 1 28327 0.40209471 0.41346509 23.038330 23.689805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41355288-0.41346509) × R
    8.7790000000032e-05 × 6371000     		dl = 559.310090000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41355288-0.41346509) × R
    8.7790000000032e-05 × 6371000     		dr = 559.310090000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40199884-0.40209471) × cos(0.41355288) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915698826304913 × 6371000     		do = 559.297644110383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40199884-0.40209471) × cos(0.41346509) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915734102524335 × 6371000     		du = 559.319190393777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41355288)-sin(0.41346509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915698826304913-0.915734102524335)×R²
    abs(0.40209471-0.40199884)×3.5276219421565e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.5276219421565e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.5276219421565e-05×40589641000000     		ar = 312826.841392226m²