Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3696 / 5338
↖ ↑ ↗
← S 47.813154°
W 17.578125°		 ← 3 281.53 m → S 47.813154°
W 17.534180°		 →
↑
3 280.62 m
↓
↑
3 280.62 m
↓
S 47.842658°
W 17.578125°		 ← 3 279.66 m →
10 762 381 m²		 S 47.842658°
W 17.534180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45123291015625 y=0.65167236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45123291015625 × 213)
    floor (0.45123291015625 × 8192)
    floor (3696.5)     		tx = 3696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65167236328125 × 213)
    floor (0.65167236328125 × 8192)
    floor (5338.5)     		ty = 5338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3696 / 5338 ti = "13/3696/5338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3696/5338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3696 ÷ 213
    3696 ÷ 8192     		x = 0.451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5338 ÷ 213
    5338 ÷ 8192     		y = 0.651611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451171875 × 2 - 1) × π
    -0.09765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30679616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651611328125 × 2 - 1) × π
    -0.30322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.952602069249756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30679616} λ = -0.30679616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952602069249756))-π/2
    2×atan(0.385736004661062)-π/2
    2×0.368149677358761-π/2
    0.736299354717523-1.57079632675     		φ = -0.83449697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30679616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83449697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.813154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3696 KachelY 5338 -0.30679616 -0.83449697 -17.578125 -47.813154
    Oben rechts KachelX + 1 3697 KachelY 5338 -0.30602917 -0.83449697 -17.534180 -47.813154
    Unten links KachelX 3696 KachelY + 1 5339 -0.30679616 -0.83501190 -17.578125 -47.842658
    Unten rechts KachelX + 1 3697 KachelY + 1 5339 -0.30602917 -0.83501190 -17.534180 -47.842658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83449697--0.83501190) × R
    0.000514930000000025 × 6371000     		dl = 3280.61903000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83449697--0.83501190) × R
    0.000514930000000025 × 6371000     		dr = 3280.61903000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30679616--0.30602917) × cos(-0.83449697) × R
    0.000766989999999967 × 0.671550492111287 × 6371000     		do = 3281.52697359786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30679616--0.30602917) × cos(-0.83501190) × R
    0.000766989999999967 × 0.67116886118383 × 6371000     		du = 3279.66213663159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83449697)-sin(-0.83501190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671550492111287-0.67116886118383)×R²
    abs(-0.30602917--0.30679616)×0.000381630927456467×R²
    0.000766989999999967×0.000381630927456467×6371000²
    0.000766989999999967×0.000381630927456467×40589641000000     		ar = 10762381.1650316m²