Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3696 / 2649
↖ ↑ ↗
← N 76.388142°
W 98.789063°		 ← 575.01 m → N 76.388142°
W 98.767090°		 →
↑
575.11 m
↓
↑
575.11 m
↓
N 76.382969°
W 98.789063°		 ← 575.22 m →
330 755 m²		 N 76.382969°
W 98.767090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225616455078125 y=0.161712646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225616455078125 × 214)
    floor (0.225616455078125 × 16384)
    floor (3696.5)     		tx = 3696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161712646484375 × 214)
    floor (0.161712646484375 × 16384)
    floor (2649.5)     		ty = 2649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3696 / 2649 ti = "14/3696/2649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3696/2649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3696 ÷ 214
    3696 ÷ 16384     		x = 0.2255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2649 ÷ 214
    2649 ÷ 16384     		y = 0.16168212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2255859375 × 2 - 1) × π
    -0.548828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.72419441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16168212890625 × 2 - 1) × π
    0.6766357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12571387675177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72419441} λ = -1.72419441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12571387675177))-π/2
    2×atan(8.37887683899485)-π/2
    2×1.45201045279738-π/2
    2.90402090559477-1.57079632675     		φ = 1.33322458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72419441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33322458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.388142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3696 KachelY 2649 -1.72419441 1.33322458 -98.789063 76.388142
    Oben rechts KachelX + 1 3697 KachelY 2649 -1.72381091 1.33322458 -98.767090 76.388142
    Unten links KachelX 3696 KachelY + 1 2650 -1.72419441 1.33313431 -98.789063 76.382969
    Unten rechts KachelX + 1 3697 KachelY + 1 2650 -1.72381091 1.33313431 -98.767090 76.382969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33322458-1.33313431) × R
    9.02700000000589e-05 × 6371000     		dl = 575.110170000375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33322458-1.33313431) × R
    9.02700000000589e-05 × 6371000     		dr = 575.110170000375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72419441--1.72381091) × cos(1.33322458) × R
    0.00038349999999987 × 0.235343273398236 × 6371000     		do = 575.009160013337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72419441--1.72381091) × cos(1.33313431) × R
    0.00038349999999987 × 0.235431006963721 × 6371000     		du = 575.223517547614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33322458)-sin(1.33313431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235343273398236-0.235431006963721)×R²
    abs(-1.72381091--1.72419441)×8.77335654847489e-05×R²
    0.00038349999999987×8.77335654847489e-05×6371000²
    0.00038349999999987×8.77335654847489e-05×40589641000000     		ar = 330755.25559029m²