Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3696 / 2418
↖ ↑ ↗
← N 59.130863°
W 17.578125°		 ← 2 507.16 m → N 59.130863°
W 17.534180°		 →
↑
2 508.01 m
↓
↑
2 508.01 m
↓
N 59.108308°
W 17.578125°		 ← 2 508.81 m →
6 290 040 m²		 N 59.108308°
W 17.534180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45123291015625 y=0.29522705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45123291015625 × 213)
    floor (0.45123291015625 × 8192)
    floor (3696.5)     		tx = 3696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29522705078125 × 213)
    floor (0.29522705078125 × 8192)
    floor (2418.5)     		ty = 2418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3696 / 2418 ti = "13/3696/2418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3696/2418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3696 ÷ 213
    3696 ÷ 8192     		x = 0.451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2418 ÷ 213
    2418 ÷ 8192     		y = 0.295166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451171875 × 2 - 1) × π
    -0.09765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30679616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295166015625 × 2 - 1) × π
    0.40966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28700988099927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30679616} λ = -0.30679616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28700988099927))-π/2
    2×atan(3.62194031550256)-π/2
    2×1.30141228868458-π/2
    2.60282457736915-1.57079632675     		φ = 1.03202825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30679616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03202825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.130863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3696 KachelY 2418 -0.30679616 1.03202825 -17.578125 59.130863
    Oben rechts KachelX + 1 3697 KachelY 2418 -0.30602917 1.03202825 -17.534180 59.130863
    Unten links KachelX 3696 KachelY + 1 2419 -0.30679616 1.03163459 -17.578125 59.108308
    Unten rechts KachelX + 1 3697 KachelY + 1 2419 -0.30602917 1.03163459 -17.534180 59.108308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03202825-1.03163459) × R
    0.000393660000000073 × 6371000     		dl = 2508.00786000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03202825-1.03163459) × R
    0.000393660000000073 × 6371000     		dr = 2508.00786000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30679616--0.30602917) × cos(1.03202825) × R
    0.000766989999999967 × 0.513078970557303 × 6371000     		do = 2507.15694686826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30679616--0.30602917) × cos(1.03163459) × R
    0.000766989999999967 × 0.513416825471166 × 6371000     		du = 2508.80787263785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03202825)-sin(1.03163459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513078970557303-0.513416825471166)×R²
    abs(-0.30602917--0.30679616)×0.000337854913862845×R²
    0.000766989999999967×0.000337854913862845×6371000²
    0.000766989999999967×0.000337854913862845×40589641000000     		ar = 6290039.67763374m²