Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36959 / 68787
↖ ↑ ↗
← S  8.893213°
W 78.489075°		 ← 301.75 m → S  8.893213°
W 78.486328°		 →
↑
301.73 m
↓
↑
301.73 m
↓
S  8.895926°
W 78.489075°		 ← 301.75 m →
91 048 m²		 S  8.895926°
W 78.486328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281978607177734 y=0.524806976318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281978607177734 × 217)
    floor (0.281978607177734 × 131072)
    floor (36959.5)     		tx = 36959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524806976318359 × 217)
    floor (0.524806976318359 × 131072)
    floor (68787.5)     		ty = 68787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36959 / 68787 ti = "17/36959/68787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36959/68787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36959 ÷ 217
    36959 ÷ 131072     		x = 0.281974792480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68787 ÷ 217
    68787 ÷ 131072     		y = 0.524803161621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281974792480469 × 2 - 1) × π
    -0.436050415039062 × 3.1415926535     		Λ = -1.36989278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524803161621094 × 2 - 1) × π
    -0.0496063232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.155842860664803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36989278} λ = -1.36989278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155842860664803))-π/2
    2×atan(0.855693642937032)-π/2
    2×0.707790244291852-π/2
    1.4155804885837-1.57079632675     		φ = -0.15521584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36989278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.489075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15521584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.893213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36959 KachelY 68787 -1.36989278 -0.15521584 -78.489075 -8.893213
    Oben rechts KachelX + 1 36960 KachelY 68787 -1.36984484 -0.15521584 -78.486328 -8.893213
    Unten links KachelX 36959 KachelY + 1 68788 -1.36989278 -0.15526320 -78.489075 -8.895926
    Unten rechts KachelX + 1 36960 KachelY + 1 68788 -1.36984484 -0.15526320 -78.486328 -8.895926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15521584--0.15526320) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dl = 301.730559999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15521584--0.15526320) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dr = 301.730559999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36989278--1.36984484) × cos(-0.15521584) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987978186359668 × 6371000     		do = 301.753968672562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36989278--1.36984484) × cos(-0.15526320) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987970863710702 × 6371000     		du = 301.751732147082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15521584)-sin(-0.15526320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987978186359668-0.987970863710702)×R²
    abs(-1.36984484--1.36989278)×7.32264896596835e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.32264896596835e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.32264896596835e-06×40589641000000     		ar = 91048.0565527179m²