Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36959 / 28321
↖ ↑ ↗
← N 23.719983°
E 23.021850°		 ← 559.25 m → N 23.719983°
E 23.027344°		 →
↑
559.25 m
↓
↑
559.25 m
↓
N 23.714953°
E 23.021850°		 ← 559.27 m →
312 764 m²		 N 23.714953°
E 23.027344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563957214355469 y=0.432151794433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563957214355469 × 216)
    floor (0.563957214355469 × 65536)
    floor (36959.5)     		tx = 36959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432151794433594 × 216)
    floor (0.432151794433594 × 65536)
    floor (28321.5)     		ty = 28321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36959 / 28321 ti = "16/36959/28321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36959/28321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36959 ÷ 216
    36959 ÷ 65536     		x = 0.563949584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28321 ÷ 216
    28321 ÷ 65536     		y = 0.432144165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563949584960938 × 2 - 1) × π
    0.127899169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40180709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432144165039062 × 2 - 1) × π
    0.135711669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.426350785220779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40180709} λ = 0.40180709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.426350785220779))-π/2
    2×atan(1.53165796388582)-π/2
    2×0.992394061868421-π/2
    1.98478812373684-1.57079632675     		φ = 0.41399180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40180709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.021850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41399180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.719983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36959 KachelY 28321 0.40180709 0.41399180 23.021850 23.719983
    Oben rechts KachelX + 1 36960 KachelY 28321 0.40190297 0.41399180 23.027344 23.719983
    Unten links KachelX 36959 KachelY + 1 28322 0.40180709 0.41390402 23.021850 23.714953
    Unten rechts KachelX + 1 36960 KachelY + 1 28322 0.40190297 0.41390402 23.027344 23.714953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41399180-0.41390402) × R
    8.77800000000373e-05 × 6371000     		dl = 559.246380000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41399180-0.41390402) × R
    8.77800000000373e-05 × 6371000     		dr = 559.246380000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40180709-0.40190297) × cos(0.41399180) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.915522351420741 × 6371000     		do = 559.24818333872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40180709-0.40190297) × cos(0.41390402) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.915557658900003 × 6371000     		du = 559.269750964683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41399180)-sin(0.41390402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915522351420741-0.915557658900003)×R²
    abs(0.40190297-0.40180709)×3.53074792622809e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.53074792622809e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.53074792622809e-05×40589641000000     		ar = 312763.553062981m²