Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36959 / 102753
↖ ↑ ↗
← S 70.931901°
W 78.489075°		 ← 99.78 m → S 70.931901°
W 78.486328°		 →
↑
99.77 m
↓
↑
99.77 m
↓
S 70.932798°
W 78.489075°		 ← 99.78 m →
9 955 m²		 S 70.932798°
W 78.486328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281978607177734 y=0.783946990966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281978607177734 × 217)
    floor (0.281978607177734 × 131072)
    floor (36959.5)     		tx = 36959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783946990966797 × 217)
    floor (0.783946990966797 × 131072)
    floor (102753.5)     		ty = 102753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36959 / 102753 ti = "17/36959/102753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36959/102753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36959 ÷ 217
    36959 ÷ 131072     		x = 0.281974792480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102753 ÷ 217
    102753 ÷ 131072     		y = 0.783943176269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281974792480469 × 2 - 1) × π
    -0.436050415039062 × 3.1415926535     		Λ = -1.36989278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783943176269531 × 2 - 1) × π
    -0.567886352539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.78406759315963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36989278} λ = -1.36989278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78406759315963))-π/2
    2×atan(0.167953589090247)-π/2
    2×0.166400556242219-π/2
    0.332801112484437-1.57079632675     		φ = -1.23799521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36989278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.489075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23799521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.931901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36959 KachelY 102753 -1.36989278 -1.23799521 -78.489075 -70.931901
    Oben rechts KachelX + 1 36960 KachelY 102753 -1.36984484 -1.23799521 -78.486328 -70.931901
    Unten links KachelX 36959 KachelY + 1 102754 -1.36989278 -1.23801087 -78.489075 -70.932798
    Unten rechts KachelX + 1 36960 KachelY + 1 102754 -1.36984484 -1.23801087 -78.486328 -70.932798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23799521--1.23801087) × R
    1.56600000000839e-05 × 6371000     		dl = 99.7698600005348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23799521--1.23801087) × R
    1.56600000000839e-05 × 6371000     		dr = 99.7698600005348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36989278--1.36984484) × cos(-1.23799521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.326691728765281 × 6371000     		do = 99.7800630099497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36989278--1.36984484) × cos(-1.23801087) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.326676927974532 × 6371000     		du = 99.7755424674826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23799521)-sin(-1.23801087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326691728765281-0.326676927974532)×R²
    abs(-1.36984484--1.36989278)×1.48007907488368e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48007907488368e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48007907488368e-05×40589641000000     		ar = 9954.81741052349m²