Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36957 / 68846
↖ ↑ ↗
← S  9.053277°
W 78.494568°		 ← 301.56 m → S  9.053277°
W 78.491821°		 →
↑
301.60 m
↓
↑
301.60 m
↓
S  9.055990°
W 78.494568°		 ← 301.56 m →
90 950 m²		 S  9.055990°
W 78.491821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281963348388672 y=0.525257110595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281963348388672 × 217)
    floor (0.281963348388672 × 131072)
    floor (36957.5)     		tx = 36957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525257110595703 × 217)
    floor (0.525257110595703 × 131072)
    floor (68846.5)     		ty = 68846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36957 / 68846 ti = "17/36957/68846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36957/68846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36957 ÷ 217
    36957 ÷ 131072     		x = 0.281959533691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68846 ÷ 217
    68846 ÷ 131072     		y = 0.525253295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281959533691406 × 2 - 1) × π
    -0.436080932617188 × 3.1415926535     		Λ = -1.36998865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525253295898438 × 2 - 1) × π
    -0.050506591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.158671137742386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36998865} λ = -1.36998865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.158671137742386))-π/2
    2×atan(0.853276923408478)-π/2
    2×0.706393413472572-π/2
    1.41278682694514-1.57079632675     		φ = -0.15800950
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36998865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.494568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15800950 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.053277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36957 KachelY 68846 -1.36998865 -0.15800950 -78.494568 -9.053277
    Oben rechts KachelX + 1 36958 KachelY 68846 -1.36994072 -0.15800950 -78.491821 -9.053277
    Unten links KachelX 36957 KachelY + 1 68847 -1.36998865 -0.15805684 -78.494568 -9.055990
    Unten rechts KachelX + 1 36958 KachelY + 1 68847 -1.36994072 -0.15805684 -78.491821 -9.055990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15800950--0.15805684) × R
    4.73400000000068e-05 × 6371000     		dl = 301.603140000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15800950--0.15805684) × R
    4.73400000000068e-05 × 6371000     		dr = 301.603140000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36998865--1.36994072) × cos(-0.15800950) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.98754245031533 × 6371000     		do = 301.557967339648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36998865--1.36994072) × cos(-0.15805684) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.987535000126426 × 6371000     		du = 301.55569233484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15800950)-sin(-0.15805684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98754245031533-0.987535000126426)×R²
    abs(-1.36994072--1.36998865)×7.45018890369042e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.45018890369042e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.45018890369042e-06×40589641000000     		ar = 90950.4867843459m²