Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36955 / 68836
↖ ↑ ↗
← S  9.026153°
W 78.500061°		 ← 301.64 m → S  9.026153°
W 78.497314°		 →
↑
301.67 m
↓
↑
301.67 m
↓
S  9.028865°
W 78.500061°		 ← 301.64 m →
90 996 m²		 S  9.028865°
W 78.497314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281948089599609 y=0.525180816650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281948089599609 × 217)
    floor (0.281948089599609 × 131072)
    floor (36955.5)     		tx = 36955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525180816650391 × 217)
    floor (0.525180816650391 × 131072)
    floor (68836.5)     		ty = 68836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36955 / 68836 ti = "17/36955/68836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36955/68836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36955 ÷ 217
    36955 ÷ 131072     		x = 0.281944274902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68836 ÷ 217
    68836 ÷ 131072     		y = 0.525177001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281944274902344 × 2 - 1) × π
    -0.436111450195312 × 3.1415926535     		Λ = -1.37008453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525177001953125 × 2 - 1) × π
    -0.05035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.158191768746185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37008453} λ = -1.37008453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.158191768746185))-π/2
    2×atan(0.85368605596563)-π/2
    2×0.706630121007613-π/2
    1.41326024201523-1.57079632675     		φ = -0.15753608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37008453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.500061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15753608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.026153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36955 KachelY 68836 -1.37008453 -0.15753608 -78.500061 -9.026153
    Oben rechts KachelX + 1 36956 KachelY 68836 -1.37003659 -0.15753608 -78.497314 -9.026153
    Unten links KachelX 36955 KachelY + 1 68837 -1.37008453 -0.15758343 -78.500061 -9.028865
    Unten rechts KachelX + 1 36956 KachelY + 1 68837 -1.37003659 -0.15758343 -78.497314 -9.028865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15753608--0.15758343) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dl = 301.66685000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15753608--0.15758343) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dr = 301.66685000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37008453--1.37003659) × cos(-0.15753608) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987616833615669 × 6371000     		do = 301.643602243325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37008453--1.37003659) × cos(-0.15758343) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987609403990703 × 6371000     		du = 301.641333044622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15753608)-sin(-0.15758343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987616833615669-0.987609403990703)×R²
    abs(-1.37003659--1.37008453)×7.4296249654715e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.4296249654715e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.4296249654715e-06×40589641000000     		ar = 90995.5330573896m²