Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36955 / 30600
↖ ↑ ↗
← N 11.824341°
E 22.999878°		 ← 597.83 m → N 11.824341°
E 23.005371°		 →
↑
597.85 m
↓
↑
597.85 m
↓
N 11.818965°
E 22.999878°		 ← 597.84 m →
357 417 m²		 N 11.818965°
E 23.005371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563896179199219 y=0.466926574707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563896179199219 × 216)
    floor (0.563896179199219 × 65536)
    floor (36955.5)     		tx = 36955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466926574707031 × 216)
    floor (0.466926574707031 × 65536)
    floor (30600.5)     		ty = 30600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36955 / 30600 ti = "16/36955/30600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36955/30600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36955 ÷ 216
    36955 ÷ 65536     		x = 0.563888549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30600 ÷ 216
    30600 ÷ 65536     		y = 0.4669189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563888549804688 × 2 - 1) × π
    0.127777099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40142360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4669189453125 × 2 - 1) × π
    0.066162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.207854396752563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40142360} λ = 0.40142360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.207854396752563))-π/2
    2×atan(1.23103391396351)-π/2
    2×0.8885850087812-π/2
    1.7771700175624-1.57079632675     		φ = 0.20637369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40142360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.999878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20637369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.824341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36955 KachelY 30600 0.40142360 0.20637369 22.999878 11.824341
    Oben rechts KachelX + 1 36956 KachelY 30600 0.40151947 0.20637369 23.005371 11.824341
    Unten links KachelX 36955 KachelY + 1 30601 0.40142360 0.20627985 22.999878 11.818965
    Unten rechts KachelX + 1 36956 KachelY + 1 30601 0.40151947 0.20627985 23.005371 11.818965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20637369-0.20627985) × R
    9.38400000000117e-05 × 6371000     		dl = 597.854640000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20637369-0.20627985) × R
    9.38400000000117e-05 × 6371000     		dr = 597.854640000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40142360-0.40151947) × cos(0.20637369) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978780422679815 × 6371000     		do = 597.827111688248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40142360-0.40151947) × cos(0.20627985) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978799647302347 × 6371000     		du = 597.838853852574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20637369)-sin(0.20627985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978780422679815-0.978799647302347)×R²
    abs(0.40151947-0.40142360)×1.92246225327874e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.92246225327874e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.92246225327874e-05×40589641000000     		ar = 357417.222956636m²