Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36954 / 30599
↖ ↑ ↗
← N 11.829718°
E 22.994385°		 ← 597.88 m → N 11.829718°
E 22.999878°		 →
↑
597.85 m
↓
↑
597.85 m
↓
N 11.824341°
E 22.994385°		 ← 597.89 m →
357 447 m²		 N 11.824341°
E 22.999878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563880920410156 y=0.466911315917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563880920410156 × 216)
    floor (0.563880920410156 × 65536)
    floor (36954.5)     		tx = 36954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466911315917969 × 216)
    floor (0.466911315917969 × 65536)
    floor (30599.5)     		ty = 30599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36954 / 30599 ti = "16/36954/30599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36954/30599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36954 ÷ 216
    36954 ÷ 65536     		x = 0.563873291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30599 ÷ 216
    30599 ÷ 65536     		y = 0.466903686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563873291015625 × 2 - 1) × π
    0.12774658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40132772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466903686523438 × 2 - 1) × π
    0.066192626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.207950270551804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40132772} λ = 0.40132772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.207950270551804))-π/2
    2×atan(1.23115194351971)-π/2
    2×0.888631928019114-π/2
    1.77726385603823-1.57079632675     		φ = 0.20646753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40132772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.994385°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20646753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.829718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36954 KachelY 30599 0.40132772 0.20646753 22.994385 11.829718
    Oben rechts KachelX + 1 36955 KachelY 30599 0.40142360 0.20646753 22.999878 11.829718
    Unten links KachelX 36954 KachelY + 1 30600 0.40132772 0.20637369 22.994385 11.824341
    Unten rechts KachelX + 1 36955 KachelY + 1 30600 0.40142360 0.20637369 22.999878 11.824341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20646753-0.20637369) × R
    9.38400000000117e-05 × 6371000     		dl = 597.854640000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20646753-0.20637369) × R
    9.38400000000117e-05 × 6371000     		dr = 597.854640000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40132772-0.40142360) × cos(0.20646753) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.978761189438195 × 6371000     		do = 597.877721134836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40132772-0.40142360) × cos(0.20637369) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.978780422679815 × 6371000     		du = 597.889469788944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20646753)-sin(0.20637369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978761189438195-0.978780422679815)×R²
    abs(0.40142360-0.40132772)×1.92332416200092e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.92332416200092e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.92332416200092e-05×40589641000000     		ar = 357447.481989115m²