Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36952 / 102745
↖ ↑ ↗
← S 70.924721°
W 78.508301°		 ← 99.82 m → S 70.924721°
W 78.505554°		 →
↑
99.77 m
↓
↑
99.77 m
↓
S 70.925619°
W 78.508301°		 ← 99.81 m →
9 958 m²		 S 70.925619°
W 78.505554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281925201416016 y=0.783885955810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281925201416016 × 217)
    floor (0.281925201416016 × 131072)
    floor (36952.5)     		tx = 36952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783885955810547 × 217)
    floor (0.783885955810547 × 131072)
    floor (102745.5)     		ty = 102745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36952 / 102745 ti = "17/36952/102745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36952/102745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36952 ÷ 217
    36952 ÷ 131072     		x = 0.28192138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102745 ÷ 217
    102745 ÷ 131072     		y = 0.783882141113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28192138671875 × 2 - 1) × π
    -0.4361572265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.37022834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783882141113281 × 2 - 1) × π
    -0.567764282226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.78368409796267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37022834} λ = -1.37022834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78368409796267))-π/2
    2×atan(0.168018010836901)-π/2
    2×0.16646320994954-π/2
    0.332926419899079-1.57079632675     		φ = -1.23786991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37022834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.508301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23786991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.924721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36952 KachelY 102745 -1.37022834 -1.23786991 -78.508301 -70.924721
    Oben rechts KachelX + 1 36953 KachelY 102745 -1.37018040 -1.23786991 -78.505554 -70.924721
    Unten links KachelX 36952 KachelY + 1 102746 -1.37022834 -1.23788557 -78.508301 -70.925619
    Unten rechts KachelX + 1 36953 KachelY + 1 102746 -1.37018040 -1.23788557 -78.505554 -70.925619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23786991--1.23788557) × R
    1.56600000000839e-05 × 6371000     		dl = 99.7698600005348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23786991--1.23788557) × R
    1.56600000000839e-05 × 6371000     		dr = 99.7698600005348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37022834--1.37018040) × cos(-1.23786991) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.326810151108574 × 6371000     		do = 99.8162322417826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37022834--1.37018040) × cos(-1.23788557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.326795350958961 × 6371000     		du = 99.8117118951349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23786991)-sin(-1.23788557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326810151108574-0.326795350958961)×R²
    abs(-1.37018040--1.37022834)×1.48001496133032e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48001496133032e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48001496133032e-05×40589641000000     		ar = 9958.42601943317m²