Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36950 / 68842
↖ ↑ ↗
← S  9.042428°
W 78.513794°		 ← 301.57 m → S  9.042428°
W 78.511048°		 →
↑
301.60 m
↓
↑
301.60 m
↓
S  9.045140°
W 78.513794°		 ← 301.56 m →
90 953 m²		 S  9.045140°
W 78.511048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281909942626953 y=0.525226593017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281909942626953 × 217)
    floor (0.281909942626953 × 131072)
    floor (36950.5)     		tx = 36950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525226593017578 × 217)
    floor (0.525226593017578 × 131072)
    floor (68842.5)     		ty = 68842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36950 / 68842 ti = "17/36950/68842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36950/68842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36950 ÷ 217
    36950 ÷ 131072     		x = 0.281906127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68842 ÷ 217
    68842 ÷ 131072     		y = 0.525222778320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281906127929688 × 2 - 1) × π
    -0.436187744140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.37032421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525222778320312 × 2 - 1) × π
    -0.050445556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.158479390143906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37032421} λ = -1.37032421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.158479390143906))-π/2
    2×atan(0.853440552896659)-π/2
    2×0.706488094346981-π/2
    1.41297618869396-1.57079632675     		φ = -0.15782014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37032421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.513794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15782014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.042428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36950 KachelY 68842 -1.37032421 -0.15782014 -78.513794 -9.042428
    Oben rechts KachelX + 1 36951 KachelY 68842 -1.37027628 -0.15782014 -78.511048 -9.042428
    Unten links KachelX 36950 KachelY + 1 68843 -1.37032421 -0.15786748 -78.513794 -9.045140
    Unten rechts KachelX + 1 36951 KachelY + 1 68843 -1.37027628 -0.15786748 -78.511048 -9.045140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15782014--0.15786748) × R
    4.73400000000068e-05 × 6371000     		dl = 301.603140000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15782014--0.15786748) × R
    4.73400000000068e-05 × 6371000     		dr = 301.603140000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37032421--1.37027628) × cos(-0.15782014) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.987572228939205 × 6371000     		do = 301.567060600685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37032421--1.37027628) × cos(-0.15786748) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.98756478760303 × 6371000     		du = 301.564788299165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15782014)-sin(-0.15786748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987572228939205-0.98756478760303)×R²
    abs(-1.37027628--1.37032421)×7.44133617436304e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.44133617436304e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.44133617436304e-06×40589641000000     		ar = 90953.2297481248m²