Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36949 / 68839
↖ ↑ ↗
← S  9.034290°
W 78.516541°		 ← 301.64 m → S  9.034290°
W 78.513794°		 →
↑
301.67 m
↓
↑
301.67 m
↓
S  9.037003°
W 78.516541°		 ← 301.63 m →
90 993 m²		 S  9.037003°
W 78.513794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281902313232422 y=0.525203704833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281902313232422 × 217)
    floor (0.281902313232422 × 131072)
    floor (36949.5)     		tx = 36949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525203704833984 × 217)
    floor (0.525203704833984 × 131072)
    floor (68839.5)     		ty = 68839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36949 / 68839 ti = "17/36949/68839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36949/68839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36949 ÷ 217
    36949 ÷ 131072     		x = 0.281898498535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68839 ÷ 217
    68839 ÷ 131072     		y = 0.525199890136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281898498535156 × 2 - 1) × π
    -0.436203002929688 × 3.1415926535     		Λ = -1.37037215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525199890136719 × 2 - 1) × π
    -0.0503997802734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.158335579445045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37037215} λ = -1.37037215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.158335579445045))-π/2
    2×atan(0.853563295604653)-π/2
    2×0.706559106875487-π/2
    1.41311821375097-1.57079632675     		φ = -0.15767811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37037215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.516541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15767811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.034290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36949 KachelY 68839 -1.37037215 -0.15767811 -78.516541 -9.034290
    Oben rechts KachelX + 1 36950 KachelY 68839 -1.37032421 -0.15767811 -78.513794 -9.034290
    Unten links KachelX 36949 KachelY + 1 68840 -1.37037215 -0.15772546 -78.516541 -9.037003
    Unten rechts KachelX + 1 36950 KachelY + 1 68840 -1.37032421 -0.15772546 -78.513794 -9.037003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15767811--0.15772546) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dl = 301.66685000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15767811--0.15772546) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dr = 301.66685000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37037215--1.37032421) × cos(-0.15767811) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987594541238572 × 6371000     		do = 301.636793577554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37037215--1.37032421) × cos(-0.15772546) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987587104971865 × 6371000     		du = 301.634522350292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15767811)-sin(-0.15772546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987594541238572-0.987587104971865)×R²
    abs(-1.37032421--1.37037215)×7.4362667078498e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.4362667078498e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.4362667078498e-06×40589641000000     		ar = 90993.4788026488m²