Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36948 / 68813
↖ ↑ ↗
← S  8.963759°
W 78.519287°		 ← 301.70 m → S  8.963759°
W 78.516541°		 →
↑
301.67 m
↓
↑
301.67 m
↓
S  8.966472°
W 78.519287°		 ← 301.69 m →
91 011 m²		 S  8.966472°
W 78.516541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36948 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281894683837891 y=0.525005340576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281894683837891 × 217)
    floor (0.281894683837891 × 131072)
    floor (36948.5)     		tx = 36948
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525005340576172 × 217)
    floor (0.525005340576172 × 131072)
    floor (68813.5)     		ty = 68813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36948 / 68813 ti = "17/36948/68813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36948/68813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36948 ÷ 217
    36948 ÷ 131072     		x = 0.281890869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68813 ÷ 217
    68813 ÷ 131072     		y = 0.525001525878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281890869140625 × 2 - 1) × π
    -0.43621826171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37042009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525001525878906 × 2 - 1) × π
    -0.0500030517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.157089220054924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37042009} λ = -1.37042009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.157089220054924))-π/2
    2×atan(0.854627805476328)-π/2
    2×0.707174615813552-π/2
    1.4143492316271-1.57079632675     		φ = -0.15644710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37042009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.519287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15644710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.963759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36948 KachelY 68813 -1.37042009 -0.15644710 -78.519287 -8.963759
    Oben rechts KachelX + 1 36949 KachelY 68813 -1.37037215 -0.15644710 -78.516541 -8.963759
    Unten links KachelX 36948 KachelY + 1 68814 -1.37042009 -0.15649445 -78.519287 -8.966472
    Unten rechts KachelX + 1 36949 KachelY + 1 68814 -1.37037215 -0.15649445 -78.516541 -8.966472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15644710--0.15649445) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dl = 301.66685000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15644710--0.15649445) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dr = 301.66685000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37042009--1.37037215) × cos(-0.15644710) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.98778709291402 × 6371000     		do = 301.695603816913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37042009--1.37037215) × cos(-0.15649445) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.987779714217945 × 6371000     		du = 301.693350173204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15644710)-sin(-0.15649445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98778709291402-0.987779714217945)×R²
    abs(-1.37037215--1.37042009)×7.37869607447816e-06×R²
    4.79400000001906e-05×7.37869607447816e-06×6371000²
    4.79400000001906e-05×7.37869607447816e-06×40589641000000     		ar = 91011.2225545262m²