Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36945 / 68815
↖ ↑ ↗
← S  8.969184°
W 78.527527°		 ← 301.69 m → S  8.969184°
W 78.524780°		 →
↑
301.67 m
↓
↑
301.67 m
↓
S  8.971897°
W 78.527527°		 ← 301.69 m →
91 010 m²		 S  8.971897°
W 78.524780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281871795654297 y=0.525020599365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281871795654297 × 217)
    floor (0.281871795654297 × 131072)
    floor (36945.5)     		tx = 36945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525020599365234 × 217)
    floor (0.525020599365234 × 131072)
    floor (68815.5)     		ty = 68815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36945 / 68815 ti = "17/36945/68815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36945/68815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36945 ÷ 217
    36945 ÷ 131072     		x = 0.281867980957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68815 ÷ 217
    68815 ÷ 131072     		y = 0.525016784667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281867980957031 × 2 - 1) × π
    -0.436264038085938 × 3.1415926535     		Λ = -1.37056390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525016784667969 × 2 - 1) × π
    -0.0500335693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.157185093854164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37056390} λ = -1.37056390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.157185093854164))-π/2
    2×atan(0.854545872989333)-π/2
    2×0.707127264716535-π/2
    1.41425452943307-1.57079632675     		φ = -0.15654180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37056390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.527527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15654180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.969184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36945 KachelY 68815 -1.37056390 -0.15654180 -78.527527 -8.969184
    Oben rechts KachelX + 1 36946 KachelY 68815 -1.37051596 -0.15654180 -78.524780 -8.969184
    Unten links KachelX 36945 KachelY + 1 68816 -1.37056390 -0.15658915 -78.527527 -8.971897
    Unten rechts KachelX + 1 36946 KachelY + 1 68816 -1.37051596 -0.15658915 -78.524780 -8.971897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15654180--0.15658915) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dl = 301.66685000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15654180--0.15658915) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dr = 301.66685000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37056390--1.37051596) × cos(-0.15654180) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987772333307246 × 6371000     		do = 301.691095851695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37056390--1.37051596) × cos(-0.15658915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.98776495018194 × 6371000     		du = 301.688840855184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15654180)-sin(-0.15658915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987772333307246-0.98776495018194)×R²
    abs(-1.37051596--1.37056390)×7.38312530668139e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.38312530668139e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.38312530668139e-06×40589641000000     		ar = 91009.8624467603m²