Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36945 / 102739
↖ ↑ ↗
← S 70.919335°
W 78.527527°		 ← 99.84 m → S 70.919335°
W 78.524780°		 →
↑
99.83 m
↓
↑
99.83 m
↓
S 70.920233°
W 78.527527°		 ← 99.84 m →
9 967 m²		 S 70.920233°
W 78.524780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281871795654297 y=0.783840179443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281871795654297 × 217)
    floor (0.281871795654297 × 131072)
    floor (36945.5)     		tx = 36945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783840179443359 × 217)
    floor (0.783840179443359 × 131072)
    floor (102739.5)     		ty = 102739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36945 / 102739 ti = "17/36945/102739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36945/102739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36945 ÷ 217
    36945 ÷ 131072     		x = 0.281867980957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102739 ÷ 217
    102739 ÷ 131072     		y = 0.783836364746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281867980957031 × 2 - 1) × π
    -0.436264038085938 × 3.1415926535     		Λ = -1.37056390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783836364746094 × 2 - 1) × π
    -0.567672729492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.78339647656495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37056390} λ = -1.37056390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78339647656495))-π/2
    2×atan(0.168066343362421)-π/2
    2×0.166510215134494-π/2
    0.333020430268987-1.57079632675     		φ = -1.23777590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37056390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.527527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23777590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.919335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36945 KachelY 102739 -1.37056390 -1.23777590 -78.527527 -70.919335
    Oben rechts KachelX + 1 36946 KachelY 102739 -1.37051596 -1.23777590 -78.524780 -70.919335
    Unten links KachelX 36945 KachelY + 1 102740 -1.37056390 -1.23779157 -78.527527 -70.920233
    Unten rechts KachelX + 1 36946 KachelY + 1 102740 -1.37051596 -1.23779157 -78.524780 -70.920233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23777590--1.23779157) × R
    1.56700000000232e-05 × 6371000     		dl = 99.8335700001476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23777590--1.23779157) × R
    1.56700000000232e-05 × 6371000     		dr = 99.8335700001476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37056390--1.37051596) × cos(-1.23777590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.326898997576036 × 6371000     		do = 99.8433682398535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37056390--1.37051596) × cos(-1.23779157) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.326884188456962 × 6371000     		du = 99.8388451537016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23777590)-sin(-1.23779157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326898997576036-0.326884188456962)×R²
    abs(-1.37051596--1.37056390)×1.48091190739774e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48091190739774e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48091190739774e-05×40589641000000     		ar = 9967.49411457125m²