Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36944 / 102749
↖ ↑ ↗
← S 70.928312°
W 78.530273°		 ← 99.78 m → S 70.928312°
W 78.527527°		 →
↑
99.77 m
↓
↑
99.77 m
↓
S 70.929209°
W 78.530273°		 ← 99.77 m →
9 955 m²		 S 70.929209°
W 78.527527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281864166259766 y=0.783916473388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281864166259766 × 217)
    floor (0.281864166259766 × 131072)
    floor (36944.5)     		tx = 36944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783916473388672 × 217)
    floor (0.783916473388672 × 131072)
    floor (102749.5)     		ty = 102749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36944 / 102749 ti = "17/36944/102749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36944/102749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36944 ÷ 217
    36944 ÷ 131072     		x = 0.2818603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102749 ÷ 217
    102749 ÷ 131072     		y = 0.783912658691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2818603515625 × 2 - 1) × π
    -0.436279296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37061183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783912658691406 × 2 - 1) × π
    -0.567825317382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.78387584556115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37061183} λ = -1.37061183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78387584556115))-π/2
    2×atan(0.167985796875395)-π/2
    2×0.166431880257311-π/2
    0.332863760514622-1.57079632675     		φ = -1.23793257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37061183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.530273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23793257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.928312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36944 KachelY 102749 -1.37061183 -1.23793257 -78.530273 -70.928312
    Oben rechts KachelX + 1 36945 KachelY 102749 -1.37056390 -1.23793257 -78.527527 -70.928312
    Unten links KachelX 36944 KachelY + 1 102750 -1.37061183 -1.23794823 -78.530273 -70.929209
    Unten rechts KachelX + 1 36945 KachelY + 1 102750 -1.37056390 -1.23794823 -78.527527 -70.929209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23793257--1.23794823) × R
    1.56600000000839e-05 × 6371000     		dl = 99.7698600005348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23793257--1.23794823) × R
    1.56600000000839e-05 × 6371000     		dr = 99.7698600005348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37061183--1.37056390) × cos(-1.23793257) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.326750931127075 × 6371000     		do = 99.7773276334149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37061183--1.37056390) × cos(-1.23794823) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.326736130656814 × 6371000     		du = 99.7728081317709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23793257)-sin(-1.23794823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326750931127075-0.326736130656814)×R²
    abs(-1.37056390--1.37061183)×1.48004702613114e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.48004702613114e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.48004702613114e-05×40589641000000     		ar = 9954.54455431785m²