Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36940 / 28309
↖ ↑ ↗
← N 23.780318°
E 22.917480°		 ← 558.93 m → N 23.780318°
E 22.922973°		 →
↑
558.99 m
↓
↑
558.99 m
↓
N 23.775291°
E 22.917480°		 ← 558.95 m →
312 444 m²		 N 23.775291°
E 22.922973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563667297363281 y=0.431968688964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563667297363281 × 216)
    floor (0.563667297363281 × 65536)
    floor (36940.5)     		tx = 36940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431968688964844 × 216)
    floor (0.431968688964844 × 65536)
    floor (28309.5)     		ty = 28309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36940 / 28309 ti = "16/36940/28309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36940/28309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36940 ÷ 216
    36940 ÷ 65536     		x = 0.56365966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28309 ÷ 216
    28309 ÷ 65536     		y = 0.431961059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56365966796875 × 2 - 1) × π
    0.1273193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39998549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431961059570312 × 2 - 1) × π
    0.136077880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.427501270811661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39998549} λ = 0.39998549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.427501270811661))-π/2
    2×atan(1.53342112835661)-π/2
    2×0.9929205875604-π/2
    1.9858411751208-1.57079632675     		φ = 0.41504485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39998549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.917480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41504485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.780318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36940 KachelY 28309 0.39998549 0.41504485 22.917480 23.780318
    Oben rechts KachelX + 1 36941 KachelY 28309 0.40008136 0.41504485 22.922973 23.780318
    Unten links KachelX 36940 KachelY + 1 28310 0.39998549 0.41495711 22.917480 23.775291
    Unten rechts KachelX + 1 36941 KachelY + 1 28310 0.40008136 0.41495711 22.922973 23.775291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41504485-0.41495711) × R
    8.77400000000028e-05 × 6371000     		dl = 558.991540000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41504485-0.41495711) × R
    8.77400000000028e-05 × 6371000     		dr = 558.991540000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39998549-0.40008136) × cos(0.41504485) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915098236505871 × 6371000     		do = 558.930811206342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39998549-0.40008136) × cos(0.41495711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915133612469039 × 6371000     		du = 558.952418411996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41504485)-sin(0.41495711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915098236505871-0.915133612469039)×R²
    abs(0.40008136-0.39998549)×3.53759631671613e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.53759631671613e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.53759631671613e-05×40589641000000     		ar = 312443.634232736m²