Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3694 / 2707
↖ ↑ ↗
← N 76.084953°
W 98.833008°		 ← 587.57 m → N 76.084953°
W 98.811035°		 →
↑
587.66 m
↓
↑
587.66 m
↓
N 76.079668°
W 98.833008°		 ← 587.79 m →
345 354 m²		 N 76.079668°
W 98.811035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225494384765625 y=0.165252685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225494384765625 × 214)
    floor (0.225494384765625 × 16384)
    floor (3694.5)     		tx = 3694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165252685546875 × 214)
    floor (0.165252685546875 × 16384)
    floor (2707.5)     		ty = 2707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3694 / 2707 ti = "14/3694/2707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3694/2707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3694 ÷ 214
    3694 ÷ 16384     		x = 0.2254638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2707 ÷ 214
    2707 ÷ 16384     		y = 0.16522216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2254638671875 × 2 - 1) × π
    -0.549072265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.72496140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16522216796875 × 2 - 1) × π
    0.6695556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10347115532806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72496140} λ = -1.72496140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10347115532806))-π/2
    2×atan(8.19456521050335)-π/2
    2×1.44936463189405-π/2
    2.8987292637881-1.57079632675     		φ = 1.32793294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72496140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.833008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32793294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.084953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3694 KachelY 2707 -1.72496140 1.32793294 -98.833008 76.084953
    Oben rechts KachelX + 1 3695 KachelY 2707 -1.72457790 1.32793294 -98.811035 76.084953
    Unten links KachelX 3694 KachelY + 1 2708 -1.72496140 1.32784070 -98.833008 76.079668
    Unten rechts KachelX + 1 3695 KachelY + 1 2708 -1.72457790 1.32784070 -98.811035 76.079668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32793294-1.32784070) × R
    9.22399999998547e-05 × 6371000     		dl = 587.661039999074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32793294-1.32784070) × R
    9.22399999998547e-05 × 6371000     		dr = 587.661039999074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72496140--1.72457790) × cos(1.32793294) × R
    0.00038349999999987 × 0.240482964497706 × 6371000     		do = 587.566856773308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72496140--1.72457790) × cos(1.32784070) × R
    0.00038349999999987 × 0.240572496540393 × 6371000     		du = 587.785608488268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32793294)-sin(1.32784070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240482964497706-0.240572496540393)×R²
    abs(-1.72457790--1.72496140)×8.95320426876622e-05×R²
    0.00038349999999987×8.95320426876622e-05×6371000²
    0.00038349999999987×8.95320426876622e-05×40589641000000     		ar = 345354.426295137m²