Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3694 / 2208
↖ ↑ ↗
← N 63.548552°
W 17.666016°		 ← 2 176.64 m → N 63.548552°
W 17.622070°		 →
↑
2 177.35 m
↓
↑
2 177.35 m
↓
N 63.528971°
W 17.666016°		 ← 2 178.13 m →
4 740 933 m²		 N 63.528971°
W 17.622070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45098876953125 y=0.26959228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45098876953125 × 213)
    floor (0.45098876953125 × 8192)
    floor (3694.5)     		tx = 3694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.26959228515625 × 213)
    floor (0.26959228515625 × 8192)
    floor (2208.5)     		ty = 2208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3694 / 2208 ti = "13/3694/2208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3694/2208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3694 ÷ 213
    3694 ÷ 8192     		x = 0.450927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2208 ÷ 213
    2208 ÷ 8192     		y = 0.26953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.450927734375 × 2 - 1) × π
    -0.09814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30833014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26953125 × 2 - 1) × π
    0.4609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.44807786372266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30833014} λ = -0.30833014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44807786372266))-π/2
    2×atan(4.2549280983296)-π/2
    2×1.33996389905054-π/2
    2.67992779810109-1.57079632675     		φ = 1.10913147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30833014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.666016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10913147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.548552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3694 KachelY 2208 -0.30833014 1.10913147 -17.666016 63.548552
    Oben rechts KachelX + 1 3695 KachelY 2208 -0.30756315 1.10913147 -17.622070 63.548552
    Unten links KachelX 3694 KachelY + 1 2209 -0.30833014 1.10878971 -17.666016 63.528971
    Unten rechts KachelX + 1 3695 KachelY + 1 2209 -0.30756315 1.10878971 -17.622070 63.528971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10913147-1.10878971) × R
    0.000341759999999969 × 6371000     		dl = 2177.3529599998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10913147-1.10878971) × R
    0.000341759999999969 × 6371000     		dr = 2177.3529599998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30833014--0.30756315) × cos(1.10913147) × R
    0.000766989999999967 × 0.445439290109431 × 6371000     		do = 2176.63610222201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30833014--0.30756315) × cos(1.10878971) × R
    0.000766989999999967 × 0.44574524596887 × 6371000     		du = 2178.13115347619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10913147)-sin(1.10878971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445439290109431-0.44574524596887)×R²
    abs(-0.30756315--0.30833014)×0.000305955859438878×R²
    0.000766989999999967×0.000305955859438878×6371000²
    0.000766989999999967×0.000305955859438878×40589641000000     		ar = 4740932.73329582m²