Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36939 / 28307
↖ ↑ ↗
← N 23.790371°
E 22.911987°		 ← 558.89 m → N 23.790371°
E 22.917480°		 →
↑
558.93 m
↓
↑
558.93 m
↓
N 23.785345°
E 22.911987°		 ← 558.91 m →
312 384 m²		 N 23.785345°
E 22.917480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563652038574219 y=0.431938171386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563652038574219 × 216)
    floor (0.563652038574219 × 65536)
    floor (36939.5)     		tx = 36939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431938171386719 × 216)
    floor (0.431938171386719 × 65536)
    floor (28307.5)     		ty = 28307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36939 / 28307 ti = "16/36939/28307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36939/28307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36939 ÷ 216
    36939 ÷ 65536     		x = 0.563644409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28307 ÷ 216
    28307 ÷ 65536     		y = 0.431930541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563644409179688 × 2 - 1) × π
    0.127288818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39988962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431930541992188 × 2 - 1) × π
    0.136138916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.427693018410141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39988962} λ = 0.39988962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.427693018410141))-π/2
    2×atan(1.53371518636699)-π/2
    2×0.993008318112982-π/2
    1.98601663622596-1.57079632675     		φ = 0.41522031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39988962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.911987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41522031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.790371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36939 KachelY 28307 0.39988962 0.41522031 22.911987 23.790371
    Oben rechts KachelX + 1 36940 KachelY 28307 0.39998549 0.41522031 22.917480 23.790371
    Unten links KachelX 36939 KachelY + 1 28308 0.39988962 0.41513258 22.911987 23.785345
    Unten rechts KachelX + 1 36940 KachelY + 1 28308 0.39998549 0.41513258 22.917480 23.785345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41522031-0.41513258) × R
    8.77300000000081e-05 × 6371000     		dl = 558.927830000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41522031-0.41513258) × R
    8.77300000000081e-05 × 6371000     		dr = 558.927830000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39988962-0.39998549) × cos(0.41522031) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915027471513517 × 6371000     		do = 558.887588814468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39988962-0.39998549) × cos(0.41513258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915062857531109 × 6371000     		du = 558.909202161242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41522031)-sin(0.41513258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915027471513517-0.915062857531109)×R²
    abs(0.39998549-0.39988962)×3.53860175920095e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.53860175920095e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.53860175920095e-05×40589641000000     		ar = 312383.867580867m²