Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36938 / 30420
↖ ↑ ↗
← N 12.790375°
E 22.906494°		 ← 595.69 m → N 12.790375°
E 22.911987°		 →
↑
595.62 m
↓
↑
595.62 m
↓
N 12.785018°
E 22.906494°		 ← 595.71 m →
354 814 m²		 N 12.785018°
E 22.911987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36938 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563636779785156 y=0.464179992675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563636779785156 × 216)
    floor (0.563636779785156 × 65536)
    floor (36938.5)     		tx = 36938
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464179992675781 × 216)
    floor (0.464179992675781 × 65536)
    floor (30420.5)     		ty = 30420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36938 / 30420 ti = "16/36938/30420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36938/30420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36938 ÷ 216
    36938 ÷ 65536     		x = 0.563629150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30420 ÷ 216
    30420 ÷ 65536     		y = 0.46417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563629150390625 × 2 - 1) × π
    0.12725830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39979374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46417236328125 × 2 - 1) × π
    0.0716552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.225111680615784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39979374} λ = 0.39979374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.225111680615784))-π/2
    2×atan(1.25246258417409)-π/2
    2×0.897015239698275-π/2
    1.79403047939655-1.57079632675     		φ = 0.22323415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39979374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.906494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22323415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.790375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36938 KachelY 30420 0.39979374 0.22323415 22.906494 12.790375
    Oben rechts KachelX + 1 36939 KachelY 30420 0.39988962 0.22323415 22.911987 12.790375
    Unten links KachelX 36938 KachelY + 1 30421 0.39979374 0.22314066 22.906494 12.785018
    Unten rechts KachelX + 1 36939 KachelY + 1 30421 0.39988962 0.22314066 22.911987 12.785018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22323415-0.22314066) × R
    9.34900000000016e-05 × 6371000     		dl = 595.62479000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22323415-0.22314066) × R
    9.34900000000016e-05 × 6371000     		dr = 595.62479000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39979374-0.39988962) × cos(0.22323415) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.975186559419886 × 6371000     		do = 595.6941530977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39979374-0.39988962) × cos(0.22314066) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.975207252411372 × 6371000     		du = 595.706793442174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22323415)-sin(0.22314066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975186559419886-0.975207252411372)×R²
    abs(0.39988962-0.39979374)×2.06929914854381e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.06929914854381e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.06929914854381e-05×40589641000000     		ar = 354813.969552694m²