Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36936 / 30696
↖ ↑ ↗
← N 11.307708°
E 22.895508°		 ← 598.93 m → N 11.307708°
E 22.901001°		 →
↑
598.94 m
↓
↑
598.94 m
↓
N 11.302321°
E 22.895508°		 ← 598.94 m →
358 726 m²		 N 11.302321°
E 22.901001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563606262207031 y=0.468391418457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563606262207031 × 216)
    floor (0.563606262207031 × 65536)
    floor (36936.5)     		tx = 36936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468391418457031 × 216)
    floor (0.468391418457031 × 65536)
    floor (30696.5)     		ty = 30696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36936 / 30696 ti = "16/36936/30696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36936/30696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36936 ÷ 216
    36936 ÷ 65536     		x = 0.5635986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30696 ÷ 216
    30696 ÷ 65536     		y = 0.4683837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5635986328125 × 2 - 1) × π
    0.127197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39960200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4683837890625 × 2 - 1) × π
    0.063232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.198650512025513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39960200} λ = 0.39960200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.198650512025513))-π/2
    2×atan(1.21975560148506)-π/2
    2×0.884076528571488-π/2
    1.76815305714298-1.57079632675     		φ = 0.19735673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39960200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.895508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19735673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.307708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36936 KachelY 30696 0.39960200 0.19735673 22.895508 11.307708
    Oben rechts KachelX + 1 36937 KachelY 30696 0.39969787 0.19735673 22.901001 11.307708
    Unten links KachelX 36936 KachelY + 1 30697 0.39960200 0.19726272 22.895508 11.302321
    Unten rechts KachelX + 1 36937 KachelY + 1 30697 0.39969787 0.19726272 22.901001 11.302321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19735673-0.19726272) × R
    9.40100000000055e-05 × 6371000     		dl = 598.937710000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19735673-0.19726272) × R
    9.40100000000055e-05 × 6371000     		dr = 598.937710000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39960200-0.39969787) × cos(0.19735673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980588290111766 × 6371000     		do = 598.931335005466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39960200-0.39969787) × cos(0.19726272) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980606719076922 × 6371000     		du = 598.942591191997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19735673)-sin(0.19726272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980588290111766-0.980606719076922)×R²
    abs(0.39969787-0.39960200)×1.84289651563585e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.84289651563585e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.84289651563585e-05×40589641000000     		ar = 358725.93337692m²