Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36935 / 68825
↖ ↑ ↗
← S  8.996313°
W 78.554993°		 ← 301.67 m → S  8.996313°
W 78.552246°		 →
↑
301.60 m
↓
↑
301.60 m
↓
S  8.999026°
W 78.554993°		 ← 301.67 m →
90 984 m²		 S  8.999026°
W 78.552246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281795501708984 y=0.525096893310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281795501708984 × 217)
    floor (0.281795501708984 × 131072)
    floor (36935.5)     		tx = 36935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525096893310547 × 217)
    floor (0.525096893310547 × 131072)
    floor (68825.5)     		ty = 68825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36935 / 68825 ti = "17/36935/68825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36935/68825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36935 ÷ 217
    36935 ÷ 131072     		x = 0.281791687011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68825 ÷ 217
    68825 ÷ 131072     		y = 0.525093078613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281791687011719 × 2 - 1) × π
    -0.436416625976562 × 3.1415926535     		Λ = -1.37104327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525093078613281 × 2 - 1) × π
    -0.0501861572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.157664462850365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37104327} λ = -1.37104327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.157664462850365))-π/2
    2×atan(0.854136328361332)-π/2
    2×0.706890519856032-π/2
    1.41378103971206-1.57079632675     		φ = -0.15701529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37104327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.554993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15701529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.996313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36935 KachelY 68825 -1.37104327 -0.15701529 -78.554993 -8.996313
    Oben rechts KachelX + 1 36936 KachelY 68825 -1.37099533 -0.15701529 -78.552246 -8.996313
    Unten links KachelX 36935 KachelY + 1 68826 -1.37104327 -0.15706263 -78.554993 -8.999026
    Unten rechts KachelX + 1 36936 KachelY + 1 68826 -1.37099533 -0.15706263 -78.552246 -8.999026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15701529--0.15706263) × R
    4.73400000000068e-05 × 6371000     		dl = 301.603140000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15701529--0.15706263) × R
    4.73400000000068e-05 × 6371000     		dr = 301.603140000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37104327--1.37099533) × cos(-0.15701529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987698403963271 × 6371000     		do = 301.668515927103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37104327--1.37099533) × cos(-0.15706263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987691000257442 × 6371000     		du = 301.666254644772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15701529)-sin(-0.15706263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987698403963271-0.987691000257442)×R²
    abs(-1.37099533--1.37104327)×7.40370582896777e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.40370582896777e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.40370582896777e-06×40589641000000     		ar = 90983.8306548327m²