Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36935 / 30394
↖ ↑ ↗
← N 12.929615°
E 22.890015°		 ← 595.36 m → N 12.929615°
E 22.895508°		 →
↑
595.37 m
↓
↑
595.37 m
↓
N 12.924261°
E 22.890015°		 ← 595.38 m →
354 465 m²		 N 12.924261°
E 22.895508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563591003417969 y=0.463783264160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563591003417969 × 216)
    floor (0.563591003417969 × 65536)
    floor (36935.5)     		tx = 36935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463783264160156 × 216)
    floor (0.463783264160156 × 65536)
    floor (30394.5)     		ty = 30394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36935 / 30394 ti = "16/36935/30394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36935/30394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36935 ÷ 216
    36935 ÷ 65536     		x = 0.563583374023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30394 ÷ 216
    30394 ÷ 65536     		y = 0.463775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563583374023438 × 2 - 1) × π
    0.127166748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.39950612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463775634765625 × 2 - 1) × π
    0.07244873046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.227604399396027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39950612} λ = 0.39950612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.227604399396027))-π/2
    2×atan(1.25558851559458)-π/2
    2×0.898230336120325-π/2
    1.79646067224065-1.57079632675     		φ = 0.22566435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39950612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.890015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22566435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.929615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36935 KachelY 30394 0.39950612 0.22566435 22.890015 12.929615
    Oben rechts KachelX + 1 36936 KachelY 30394 0.39960200 0.22566435 22.895508 12.929615
    Unten links KachelX 36935 KachelY + 1 30395 0.39950612 0.22557090 22.890015 12.924261
    Unten rechts KachelX + 1 36936 KachelY + 1 30395 0.39960200 0.22557090 22.895508 12.924261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22566435-0.22557090) × R
    9.34500000000227e-05 × 6371000     		dl = 595.369950000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22566435-0.22557090) × R
    9.34500000000227e-05 × 6371000     		dr = 595.369950000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39950612-0.39960200) × cos(0.22566435) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.974645671250159 × 6371000     		do = 595.363750758707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39950612-0.39960200) × cos(0.22557090) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.974666576797959 × 6371000     		du = 595.376520943521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22566435)-sin(0.22557090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974645671250159-0.974666576797959)×R²
    abs(0.39960200-0.39950612)×2.09055477997655e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.09055477997655e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.09055477997655e-05×40589641000000     		ar = 354465.488271212m²