Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36932 / 30701
↖ ↑ ↗
← N 11.280774°
E 22.873535°		 ← 598.99 m → N 11.280774°
E 22.879028°		 →
↑
599 m
↓
↑
599 m
↓
N 11.275387°
E 22.873535°		 ← 599 m →
358 798 m²		 N 11.275387°
E 22.879028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563545227050781 y=0.468467712402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563545227050781 × 216)
    floor (0.563545227050781 × 65536)
    floor (36932.5)     		tx = 36932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468467712402344 × 216)
    floor (0.468467712402344 × 65536)
    floor (30701.5)     		ty = 30701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36932 / 30701 ti = "16/36932/30701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36932/30701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36932 ÷ 216
    36932 ÷ 65536     		x = 0.56353759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30701 ÷ 216
    30701 ÷ 65536     		y = 0.468460083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56353759765625 × 2 - 1) × π
    0.1270751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39921850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468460083007812 × 2 - 1) × π
    0.063079833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.198171143029312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39921850} λ = 0.39921850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.198171143029312))-π/2
    2×atan(1.21917102859102)-π/2
    2×0.883841485721897-π/2
    1.76768297144379-1.57079632675     		φ = 0.19688664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39921850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.873535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19688664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.280774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36932 KachelY 30701 0.39921850 0.19688664 22.873535 11.280774
    Oben rechts KachelX + 1 36933 KachelY 30701 0.39931437 0.19688664 22.879028 11.280774
    Unten links KachelX 36932 KachelY + 1 30702 0.39921850 0.19679262 22.873535 11.275387
    Unten rechts KachelX + 1 36933 KachelY + 1 30702 0.39931437 0.19679262 22.879028 11.275387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19688664-0.19679262) × R
    9.40200000000002e-05 × 6371000     		dl = 599.001420000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19688664-0.19679262) × R
    9.40200000000002e-05 × 6371000     		dr = 599.001420000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39921850-0.39931437) × cos(0.19688664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980680356095758 × 6371000     		do = 598.987567782521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39921850-0.39931437) × cos(0.19679262) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980698743678425 × 6371000     		du = 598.998798693134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19688664)-sin(0.19679262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980680356095758-0.980698743678425)×R²
    abs(0.39931437-0.39921850)×1.83875826671454e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.83875826671454e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.83875826671454e-05×40589641000000     		ar = 358797.767594098m²