Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36931 / 30704
↖ ↑ ↗
← N 11.264612°
E 22.868042°		 ← 599.02 m → N 11.264612°
E 22.873535°		 →
↑
599.07 m
↓
↑
599.07 m
↓
N 11.259225°
E 22.868042°		 ← 599.03 m →
358 856 m²		 N 11.259225°
E 22.873535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563529968261719 y=0.468513488769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563529968261719 × 216)
    floor (0.563529968261719 × 65536)
    floor (36931.5)     		tx = 36931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468513488769531 × 216)
    floor (0.468513488769531 × 65536)
    floor (30704.5)     		ty = 30704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36931 / 30704 ti = "16/36931/30704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36931/30704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36931 ÷ 216
    36931 ÷ 65536     		x = 0.563522338867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30704 ÷ 216
    30704 ÷ 65536     		y = 0.468505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563522338867188 × 2 - 1) × π
    0.127044677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39912263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468505859375 × 2 - 1) × π
    0.06298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.197883521631592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39912263} λ = 0.39912263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.197883521631592))-π/2
    2×atan(1.2188204193395)-π/2
    2×0.883700449428958-π/2
    1.76740089885792-1.57079632675     		φ = 0.19660457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39912263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.868042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19660457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.264612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36931 KachelY 30704 0.39912263 0.19660457 22.868042 11.264612
    Oben rechts KachelX + 1 36932 KachelY 30704 0.39921850 0.19660457 22.873535 11.264612
    Unten links KachelX 36931 KachelY + 1 30705 0.39912263 0.19651054 22.868042 11.259225
    Unten rechts KachelX + 1 36932 KachelY + 1 30705 0.39921850 0.19651054 22.873535 11.259225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19660457-0.19651054) × R
    9.4029999999995e-05 × 6371000     		dl = 599.065129999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19660457-0.19651054) × R
    9.4029999999995e-05 × 6371000     		dr = 599.065129999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39912263-0.39921850) × cos(0.19660457) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980735494789576 × 6371000     		do = 599.021245822359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39912263-0.39921850) × cos(0.19651054) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98075385831589 × 6371000     		du = 599.032462039646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19660457)-sin(0.19651054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980735494789576-0.98075385831589)×R²
    abs(0.39921850-0.39912263)×1.83635263142357e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.83635263142357e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.83635263142357e-05×40589641000000     		ar = 358856.100388015m²