Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3693 / 5101
↖ ↑ ↗
← S 40.346544°
W 17.709961°		 ← 3 724.20 m → S 40.346544°
W 17.666016°		 →
↑
3 723.28 m
↓
↑
3 723.28 m
↓
S 40.380029°
W 17.709961°		 ← 3 722.36 m →
13 862 801 m²		 S 40.380029°
W 17.666016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45086669921875 y=0.62274169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45086669921875 × 213)
    floor (0.45086669921875 × 8192)
    floor (3693.5)     		tx = 3693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62274169921875 × 213)
    floor (0.62274169921875 × 8192)
    floor (5101.5)     		ty = 5101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3693 / 5101 ti = "13/3693/5101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3693/5101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3693 ÷ 213
    3693 ÷ 8192     		x = 0.4508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5101 ÷ 213
    5101 ÷ 8192     		y = 0.6226806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4508056640625 × 2 - 1) × π
    -0.098388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30909713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6226806640625 × 2 - 1) × π
    -0.245361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.770825345890503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30909713} λ = -0.30909713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.770825345890503))-π/2
    2×atan(0.462631080035959)-π/2
    2×0.433308145047967-π/2
    0.866616290095934-1.57079632675     		φ = -0.70418004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30909713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.709961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70418004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.346544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3693 KachelY 5101 -0.30909713 -0.70418004 -17.709961 -40.346544
    Oben rechts KachelX + 1 3694 KachelY 5101 -0.30833014 -0.70418004 -17.666016 -40.346544
    Unten links KachelX 3693 KachelY + 1 5102 -0.30909713 -0.70476445 -17.709961 -40.380029
    Unten rechts KachelX + 1 3694 KachelY + 1 5102 -0.30833014 -0.70476445 -17.666016 -40.380029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70418004--0.70476445) × R
    0.00058440999999998 × 6371000     		dl = 3723.27610999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70418004--0.70476445) × R
    0.00058440999999998 × 6371000     		dr = 3723.27610999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30909713--0.30833014) × cos(-0.70418004) × R
    0.000766990000000023 × 0.762142657492576 × 6371000     		do = 3724.20498186035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30909713--0.30833014) × cos(-0.70476445) × R
    0.000766990000000023 × 0.761764175000645 × 6371000     		du = 3722.35552970315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70418004)-sin(-0.70476445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.762142657492576-0.761764175000645)×R²
    abs(-0.30833014--0.30909713)×0.00037848249193162×R²
    0.000766990000000023×0.00037848249193162×6371000²
    0.000766990000000023×0.00037848249193162×40589641000000     		ar = 13862800.821739m²