Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3693 / 2882
↖ ↑ ↗
← N 46.980253°
W 17.709961°		 ← 3 333.81 m → N 46.980253°
W 17.666016°		 →
↑
3 334.77 m
↓
↑
3 334.77 m
↓
N 46.950262°
W 17.709961°		 ← 3 335.68 m →
11 120 622 m²		 N 46.950262°
W 17.666016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45086669921875 y=0.35186767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45086669921875 × 213)
    floor (0.45086669921875 × 8192)
    floor (3693.5)     		tx = 3693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35186767578125 × 213)
    floor (0.35186767578125 × 8192)
    floor (2882.5)     		ty = 2882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3693 / 2882 ti = "13/3693/2882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3693/2882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3693 ÷ 213
    3693 ÷ 8192     		x = 0.4508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2882 ÷ 213
    2882 ÷ 8192     		y = 0.351806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4508056640625 × 2 - 1) × π
    -0.098388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30909713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351806640625 × 2 - 1) × π
    0.29638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.931126338219971
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30909713} λ = -0.30909713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931126338219971))-π/2
    2×atan(2.5373655004643)-π/2
    2×1.19537820689656-π/2
    2.39075641379313-1.57079632675     		φ = 0.81996009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30909713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.709961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81996009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.980253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3693 KachelY 2882 -0.30909713 0.81996009 -17.709961 46.980253
    Oben rechts KachelX + 1 3694 KachelY 2882 -0.30833014 0.81996009 -17.666016 46.980253
    Unten links KachelX 3693 KachelY + 1 2883 -0.30909713 0.81943666 -17.709961 46.950262
    Unten rechts KachelX + 1 3694 KachelY + 1 2883 -0.30833014 0.81943666 -17.666016 46.950262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81996009-0.81943666) × R
    0.000523429999999991 × 6371000     		dl = 3334.77252999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81996009-0.81943666) × R
    0.000523429999999991 × 6371000     		dr = 3334.77252999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30909713--0.30833014) × cos(0.81996009) × R
    0.000766990000000023 × 0.682250386774346 × 6371000     		do = 3333.81193707285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30909713--0.30833014) × cos(0.81943666) × R
    0.000766990000000023 × 0.682632982705432 × 6371000     		du = 3335.68148952288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81996009)-sin(0.81943666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682250386774346-0.682632982705432)×R²
    abs(-0.30833014--0.30909713)×0.000382595931085805×R²
    0.000766990000000023×0.000382595931085805×6371000²
    0.000766990000000023×0.000382595931085805×40589641000000     		ar = 11120621.9879161m²