Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3693 / 2213
↖ ↑ ↗
← N 63.450509°
W 17.709961°		 ← 2 184.12 m → N 63.450509°
W 17.666016°		 →
↑
2 184.87 m
↓
↑
2 184.87 m
↓
N 63.430860°
W 17.709961°		 ← 2 185.62 m →
4 773 656 m²		 N 63.430860°
W 17.666016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45086669921875 y=0.27020263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45086669921875 × 213)
    floor (0.45086669921875 × 8192)
    floor (3693.5)     		tx = 3693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27020263671875 × 213)
    floor (0.27020263671875 × 8192)
    floor (2213.5)     		ty = 2213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3693 / 2213 ti = "13/3693/2213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3693/2213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3693 ÷ 213
    3693 ÷ 8192     		x = 0.4508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2213 ÷ 213
    2213 ÷ 8192     		y = 0.2701416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4508056640625 × 2 - 1) × π
    -0.098388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30909713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2701416015625 × 2 - 1) × π
    0.459716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.44424291175305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30909713} λ = -0.30909713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44424291175305))-π/2
    2×atan(4.23864190178903)-π/2
    2×1.33910831234879-π/2
    2.67821662469758-1.57079632675     		φ = 1.10742030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30909713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.709961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10742030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.450509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3693 KachelY 2213 -0.30909713 1.10742030 -17.709961 63.450509
    Oben rechts KachelX + 1 3694 KachelY 2213 -0.30833014 1.10742030 -17.666016 63.450509
    Unten links KachelX 3693 KachelY + 1 2214 -0.30909713 1.10707736 -17.709961 63.430860
    Unten rechts KachelX + 1 3694 KachelY + 1 2214 -0.30833014 1.10707736 -17.666016 63.430860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10742030-1.10707736) × R
    0.000342940000000125 × 6371000     		dl = 2184.8707400008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10742030-1.10707736) × R
    0.000342940000000125 × 6371000     		dr = 2184.8707400008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30909713--0.30833014) × cos(1.10742030) × R
    0.000766990000000023 × 0.446970668500844 × 6371000     		do = 2184.11917245625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30909713--0.30833014) × cos(1.10707736) × R
    0.000766990000000023 × 0.447277418712637 × 6371000     		du = 2185.61810530789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10742030)-sin(1.10707736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.446970668500844-0.447277418712637)×R²
    abs(-0.30833014--0.30909713)×0.00030675021179305×R²
    0.000766990000000023×0.00030675021179305×6371000²
    0.000766990000000023×0.00030675021179305×40589641000000     		ar = 4773655.60662404m²