Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36927 / 68790
↖ ↑ ↗
← S  8.901353°
W 78.576965°		 ← 301.75 m → S  8.901353°
W 78.574219°		 →
↑
301.73 m
↓
↑
301.73 m
↓
S  8.904067°
W 78.576965°		 ← 301.75 m →
91 046 m²		 S  8.904067°
W 78.574219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281734466552734 y=0.524829864501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281734466552734 × 217)
    floor (0.281734466552734 × 131072)
    floor (36927.5)     		tx = 36927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524829864501953 × 217)
    floor (0.524829864501953 × 131072)
    floor (68790.5)     		ty = 68790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36927 / 68790 ti = "17/36927/68790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36927/68790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36927 ÷ 217
    36927 ÷ 131072     		x = 0.281730651855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68790 ÷ 217
    68790 ÷ 131072     		y = 0.524826049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281730651855469 × 2 - 1) × π
    -0.436538696289062 × 3.1415926535     		Λ = -1.37142676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524826049804688 × 2 - 1) × π
    -0.049652099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.155986671363663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37142676} λ = -1.37142676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155986671363663))-π/2
    2×atan(0.855570593884328)-π/2
    2×0.707719204165043-π/2
    1.41543840833009-1.57079632675     		φ = -0.15535792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37142676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.576965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15535792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.901353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36927 KachelY 68790 -1.37142676 -0.15535792 -78.576965 -8.901353
    Oben rechts KachelX + 1 36928 KachelY 68790 -1.37137882 -0.15535792 -78.574219 -8.901353
    Unten links KachelX 36927 KachelY + 1 68791 -1.37142676 -0.15540528 -78.576965 -8.904067
    Unten rechts KachelX + 1 36928 KachelY + 1 68791 -1.37137882 -0.15540528 -78.574219 -8.904067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15535792--0.15540528) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dl = 301.730559999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15535792--0.15540528) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dr = 301.730559999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37142676--1.37137882) × cos(-0.15535792) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987956211764821 × 6371000     		do = 301.747257065669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37142676--1.37137882) × cos(-0.15540528) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987948882467938 × 6371000     		du = 301.745018509745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15535792)-sin(-0.15540528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987956211764821-0.987948882467938)×R²
    abs(-1.37137882--1.37142676)×7.32929688251893e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.32929688251893e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.32929688251893e-06×40589641000000     		ar = 91046.0311495163m²