Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36926 / 36861
↖ ↑ ↗
← S 21.927759°
E 22.840576°		 ← 566.60 m → S 21.927759°
E 22.846069°		 →
↑
566.64 m
↓
↑
566.64 m
↓
S 21.932855°
E 22.840576°		 ← 566.58 m →
321 051 m²		 S 21.932855°
E 22.846069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563453674316406 y=0.562461853027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563453674316406 × 216)
    floor (0.563453674316406 × 65536)
    floor (36926.5)     		tx = 36926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562461853027344 × 216)
    floor (0.562461853027344 × 65536)
    floor (36861.5)     		ty = 36861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36926 / 36861 ti = "16/36926/36861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36926/36861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36926 ÷ 216
    36926 ÷ 65536     		x = 0.563446044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36861 ÷ 216
    36861 ÷ 65536     		y = 0.562454223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563446044921875 × 2 - 1) × π
    0.12689208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39864326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562454223632812 × 2 - 1) × π
    -0.124908447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.39241146028978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39864326} λ = 0.39864326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.39241146028978))-π/2
    2×atan(0.675426145740454)-π/2
    2×0.594042366776781-π/2
    1.18808473355356-1.57079632675     		φ = -0.38271159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39864326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.840576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38271159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.927759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36926 KachelY 36861 0.39864326 -0.38271159 22.840576 -21.927759
    Oben rechts KachelX + 1 36927 KachelY 36861 0.39873913 -0.38271159 22.846069 -21.927759
    Unten links KachelX 36926 KachelY + 1 36862 0.39864326 -0.38280053 22.840576 -21.932855
    Unten rechts KachelX + 1 36927 KachelY + 1 36862 0.39873913 -0.38280053 22.846069 -21.932855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38271159--0.38280053) × R
    8.89400000000373e-05 × 6371000     		dl = 566.636740000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38271159--0.38280053) × R
    8.89400000000373e-05 × 6371000     		dr = 566.636740000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39864326-0.39873913) × cos(-0.38271159) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927655438469816 × 6371000     		do = 566.600596591339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39864326-0.39873913) × cos(-0.38280053) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.92762222129089 × 6371000     		du = 566.580307944697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38271159)-sin(-0.38280053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927655438469816-0.92762222129089)×R²
    abs(0.39873913-0.39864326)×3.3217178926237e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.3217178926237e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.3217178926237e-05×40589641000000     		ar = 321050.967000078m²