Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36923 / 36859
↖ ↑ ↗
← S 21.917567°
E 22.824097°		 ← 566.64 m → S 21.917567°
E 22.829590°		 →
↑
566.64 m
↓
↑
566.64 m
↓
S 21.922663°
E 22.824097°		 ← 566.62 m →
321 074 m²		 S 21.922663°
E 22.829590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563407897949219 y=0.562431335449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563407897949219 × 216)
    floor (0.563407897949219 × 65536)
    floor (36923.5)     		tx = 36923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562431335449219 × 216)
    floor (0.562431335449219 × 65536)
    floor (36859.5)     		ty = 36859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36923 / 36859 ti = "16/36923/36859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36923/36859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36923 ÷ 216
    36923 ÷ 65536     		x = 0.563400268554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36859 ÷ 216
    36859 ÷ 65536     		y = 0.562423706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563400268554688 × 2 - 1) × π
    0.126800537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.39835564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562423706054688 × 2 - 1) × π
    -0.124847412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.392219712691299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39835564} λ = 0.39835564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.392219712691299))-π/2
    2×atan(0.675555669499389)-π/2
    2×0.594131307811773-π/2
    1.18826261562355-1.57079632675     		φ = -0.38253371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39835564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.824097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38253371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.917567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36923 KachelY 36859 0.39835564 -0.38253371 22.824097 -21.917567
    Oben rechts KachelX + 1 36924 KachelY 36859 0.39845151 -0.38253371 22.829590 -21.917567
    Unten links KachelX 36923 KachelY + 1 36860 0.39835564 -0.38262265 22.824097 -21.922663
    Unten rechts KachelX + 1 36924 KachelY + 1 36860 0.39845151 -0.38262265 22.829590 -21.922663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38253371--0.38262265) × R
    8.89399999999818e-05 × 6371000     		dl = 566.636739999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38253371--0.38262265) × R
    8.89399999999818e-05 × 6371000     		dr = 566.636739999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39835564-0.39845151) × cos(-0.38253371) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927721850813241 × 6371000     		do = 566.64116043848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39835564-0.39845151) × cos(-0.38262265) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.927688648310687 × 6371000     		du = 566.620880755987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38253371)-sin(-0.38262265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927721850813241-0.927688648310687)×R²
    abs(0.39845151-0.39835564)×3.32025025541194e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.32025025541194e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.32025025541194e-05×40589641000000     		ar = 321073.954505685m²