Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36922 / 68803
↖ ↑ ↗
← S  8.936627°
W 78.590698°		 ← 301.72 m → S  8.936627°
W 78.587952°		 →
↑
301.73 m
↓
↑
301.73 m
↓
S  8.939340°
W 78.590698°		 ← 301.72 m →
91 037 m²		 S  8.939340°
W 78.587952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281696319580078 y=0.524929046630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281696319580078 × 217)
    floor (0.281696319580078 × 131072)
    floor (36922.5)     		tx = 36922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524929046630859 × 217)
    floor (0.524929046630859 × 131072)
    floor (68803.5)     		ty = 68803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36922 / 68803 ti = "17/36922/68803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36922/68803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36922 ÷ 217
    36922 ÷ 131072     		x = 0.281692504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68803 ÷ 217
    68803 ÷ 131072     		y = 0.524925231933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281692504882812 × 2 - 1) × π
    -0.436614990234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.37166645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524925231933594 × 2 - 1) × π
    -0.0498504638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.156609851058723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37166645} λ = -1.37166645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156609851058723))-π/2
    2×atan(0.855037585759699)-π/2
    2×0.707411381900438-π/2
    1.41482276380088-1.57079632675     		φ = -0.15597356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37166645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.590698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15597356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.936627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36922 KachelY 68803 -1.37166645 -0.15597356 -78.590698 -8.936627
    Oben rechts KachelX + 1 36923 KachelY 68803 -1.37161851 -0.15597356 -78.587952 -8.936627
    Unten links KachelX 36922 KachelY + 1 68804 -1.37166645 -0.15602092 -78.590698 -8.939340
    Unten rechts KachelX + 1 36923 KachelY + 1 68804 -1.37161851 -0.15602092 -78.587952 -8.939340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15597356--0.15602092) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dl = 301.730559999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15597356--0.15602092) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dr = 301.730559999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37166645--1.37161851) × cos(-0.15597356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987860764280467 × 6371000     		do = 301.718104947129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37166645--1.37161851) × cos(-0.15602092) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987853406179529 × 6371000     		du = 301.715857593705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15597356)-sin(-0.15602092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987860764280467-0.987853406179529)×R²
    abs(-1.37161851--1.37166645)×7.35810093799305e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.35810093799305e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.35810093799305e-06×40589641000000     		ar = 91037.2337372422m²