Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36917 / 36853
↖ ↑ ↗
← S 21.886987°
E 22.791138°		 ← 566.82 m → S 21.886987°
E 22.796631°		 →
↑
566.76 m
↓
↑
566.76 m
↓
S 21.892084°
E 22.791138°		 ← 566.80 m →
321 249 m²		 S 21.892084°
E 22.796631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.563316345214844 y=0.562339782714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.563316345214844 × 216)
    floor (0.563316345214844 × 65536)
    floor (36917.5)     		tx = 36917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562339782714844 × 216)
    floor (0.562339782714844 × 65536)
    floor (36853.5)     		ty = 36853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36917 / 36853 ti = "16/36917/36853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36917/36853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36917 ÷ 216
    36917 ÷ 65536     		x = 0.563308715820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36853 ÷ 216
    36853 ÷ 65536     		y = 0.562332153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.563308715820312 × 2 - 1) × π
    0.126617431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39778039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562332153320312 × 2 - 1) × π
    -0.124664306640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.391644469895859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39778039} λ = 0.39778039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.391644469895859))-π/2
    2×atan(0.675944389824752)-π/2
    2×0.594398169103898-π/2
    1.1887963382078-1.57079632675     		φ = -0.38199999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39778039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.791138°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38199999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.886987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36917 KachelY 36853 0.39778039 -0.38199999 22.791138 -21.886987
    Oben rechts KachelX + 1 36918 KachelY 36853 0.39787627 -0.38199999 22.796631 -21.886987
    Unten links KachelX 36917 KachelY + 1 36854 0.39778039 -0.38208895 22.791138 -21.892084
    Unten rechts KachelX + 1 36918 KachelY + 1 36854 0.39787627 -0.38208895 22.796631 -21.892084
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38199999--0.38208895) × R
    8.89599999999713e-05 × 6371000     		dl = 566.764159999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38199999--0.38208895) × R
    8.89599999999713e-05 × 6371000     		dr = 566.764159999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39778039-0.39787627) × cos(-0.38199999) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.927920941531363 × 6371000     		do = 566.821880457383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39778039-0.39787627) × cos(-0.38208895) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.927887775613638 × 6371000     		du = 566.801621007455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38199999)-sin(-0.38208895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927920941531363-0.927887775613638)×R²
    abs(0.39787627-0.39778039)×3.31659177256194e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.31659177256194e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.31659177256194e-05×40589641000000     		ar = 321248.585993669m²