Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36916 / 68916
↖ ↑ ↗
← S  9.243093°
W 78.607178°		 ← 301.46 m → S  9.243093°
W 78.604431°		 →
↑
301.41 m
↓
↑
301.41 m
↓
S  9.245803°
W 78.607178°		 ← 301.46 m →
90 863 m²		 S  9.245803°
W 78.604431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281650543212891 y=0.525791168212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281650543212891 × 217)
    floor (0.281650543212891 × 131072)
    floor (36916.5)     		tx = 36916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525791168212891 × 217)
    floor (0.525791168212891 × 131072)
    floor (68916.5)     		ty = 68916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36916 / 68916 ti = "17/36916/68916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36916/68916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36916 ÷ 217
    36916 ÷ 131072     		x = 0.281646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68916 ÷ 217
    68916 ÷ 131072     		y = 0.525787353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.43670654296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37195407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525787353515625 × 2 - 1) × π
    -0.05157470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.16202672071579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37195407} λ = -1.37195407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.16202672071579))-π/2
    2×atan(0.850418480446114)-π/2
    2×0.704736963537758-π/2
    1.40947392707552-1.57079632675     		φ = -0.16132240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37195407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.607178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16132240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.243093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36916 KachelY 68916 -1.37195407 -0.16132240 -78.607178 -9.243093
    Oben rechts KachelX + 1 36917 KachelY 68916 -1.37190613 -0.16132240 -78.604431 -9.243093
    Unten links KachelX 36916 KachelY + 1 68917 -1.37195407 -0.16136971 -78.607178 -9.245803
    Unten rechts KachelX + 1 36917 KachelY + 1 68917 -1.37190613 -0.16136971 -78.604431 -9.245803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16132240--0.16136971) × R
    4.73099999999949e-05 × 6371000     		dl = 301.412009999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16132240--0.16136971) × R
    4.73099999999949e-05 × 6371000     		dr = 301.412009999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37195407--1.37190613) × cos(-0.16132240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987015737837942 × 6371000     		do = 301.460012120602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37195407--1.37190613) × cos(-0.16136971) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987008137631964 × 6371000     		du = 301.457690822067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16132240)-sin(-0.16136971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987015737837942-0.987008137631964)×R²
    abs(-1.37190613--1.37195407)×7.60020597856403e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.60020597856403e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.60020597856403e-06×40589641000000     		ar = 90863.3183711662m²