Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36916 / 68914
↖ ↑ ↗
← S  9.237671°
W 78.607178°		 ← 301.46 m → S  9.237671°
W 78.604431°		 →
↑
301.48 m
↓
↑
301.48 m
↓
S  9.240382°
W 78.607178°		 ← 301.46 m →
90 884 m²		 S  9.240382°
W 78.604431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.281650543212891 y=0.525775909423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.281650543212891 × 217)
    floor (0.281650543212891 × 131072)
    floor (36916.5)     		tx = 36916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525775909423828 × 217)
    floor (0.525775909423828 × 131072)
    floor (68914.5)     		ty = 68914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36916 / 68914 ti = "17/36916/68914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36916/68914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36916 ÷ 217
    36916 ÷ 131072     		x = 0.281646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68914 ÷ 217
    68914 ÷ 131072     		y = 0.525772094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.281646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.43670654296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.37195407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525772094726562 × 2 - 1) × π
    -0.051544189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.16193084691655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.37195407} λ = -1.37195407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.16193084691655))-π/2
    2×atan(0.850500017205335)-π/2
    2×0.704784278376352-π/2
    1.4095685567527-1.57079632675     		φ = -0.16122777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.37195407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.607178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16122777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.237671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36916 KachelY 68914 -1.37195407 -0.16122777 -78.607178 -9.237671
    Oben rechts KachelX + 1 36917 KachelY 68914 -1.37190613 -0.16122777 -78.604431 -9.237671
    Unten links KachelX 36916 KachelY + 1 68915 -1.37195407 -0.16127509 -78.607178 -9.240382
    Unten rechts KachelX + 1 36917 KachelY + 1 68915 -1.37190613 -0.16127509 -78.604431 -9.240382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16122777--0.16127509) × R
    4.73200000000173e-05 × 6371000     		dl = 301.475720000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16122777--0.16127509) × R
    4.73200000000173e-05 × 6371000     		dr = 301.475720000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.37195407--1.37190613) × cos(-0.16122777) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987030933227662 × 6371000     		do = 301.464653183751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.37195407--1.37190613) × cos(-0.16127509) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987023335834747 × 6371000     		du = 301.462332744398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16122777)-sin(-0.16127509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987030933227662-0.987023335834747)×R²
    abs(-1.37190613--1.37195407)×7.59739291489314e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.59739291489314e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.59739291489314e-06×40589641000000     		ar = 90883.9236120542m²